专题2.1 直线的倾斜角与斜率-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.1 直线的倾斜角与斜率-重难点题型精讲 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 4．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【题型1 直线的倾斜角】 【方法点拨】 直线倾斜角的概念和范围： (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨 论． (2)注意倾斜角的范围． 【例1】（2022·江苏·盐城市高二阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．150° 【解题思路】求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【解答过程】由题意，直线可化为，可得斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以． 故选：A． 【变式1-1】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线斜率求倾斜角即可. 【解答过程】直线中，斜率，而斜率，， 又，. 故选：C. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过，两点的直线的倾斜角是（    ） A．45 B．60° C．120° D．135° 【解题思路】求出斜率后，由斜率与倾斜角的关系可得倾斜角． 【解答过程】由已知直线的斜率为，， 所以倾斜角． 故选：D. 【变式1-3】（2021·安徽·高二阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得结果. 【解答过程】设直线的倾斜角为，则，因为，故. 故选：D. 【题型2 直线的斜率】 【方法点拨】 求直线的斜率： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 【例2】（2022·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接由斜率的定义判断大小即可. 【解答过程】由斜率的定义知，. 故选：D. 【变式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案. 【解答过程】由知斜率为，设其倾斜角为，则， 将直线绕着原点逆时针旋转， 则     故新直线的斜率是. 故选：B. 【变式2-2】（2021·广东·深圳高二阶段练习）直线的斜率是（       ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线的斜截式方程可求得直线的斜率. 【解答过程】直线的斜率为. 故选：D. 【变式2-3】（2021·全国·高二专题练习）已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先寻求AB，BC倾斜角之间的关系，然后结合两角和的正切公式即可求解. 【解答过程】设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β， 则或，tanα， 当时，tanβ， 当时，tanβ=. 故选：C. 【题型3 倾斜角和斜率的应用】 【方法点拨】 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【例3】（2022·全国·高三专题练习）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．以上都不对 【解题思路】先画出线段AB，之后连接PA，PB求得PA，PB的斜率，通过观察图像找到直线