2.2.4 均值不等式及其应用 题型分类讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.4均值不等式及其应用 常考题型目录 题型1 直接法求最值 4 题型2 配凑法求最值 5 题型3 消元法求最值 5 题型4 常数“1”——分子分母型之“分母是单项式” 6 题型5 常数“1”——分母型之分母是多项式 6 题型6 多次使用均值不等式 7 题型7 换元法 7 题型8 恒成立 7 题型9 调和平均数 8 题型10 实际应用 8 知识梳理： 知识点一：均值不等式的证明 方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图) 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 方法2：代数法 ∵，当时，； 当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）. 注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果，,，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点二：均值不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点三：用均值不等式求最大（小）值 在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立. 知识点四：均值不等式的变形 均值不等式 常见形式 使用条件 使用形式 “=”成立的条件 a,b∈R+ a+b≥2 当且仅当a=b时等号成立 a,b∈R