12.3 第3课时 乘法公式的综合应用-2022-2023学年八年级上册数学【拔尖特训】华东师大版

两数和(差)的平方公式的常见变形 (1) a2+b2=(a+b)2-2ab, a2+b2=(a-b)2+2ab. (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab, (a-b)2=(a+b)2-4ab. (3) (a+b)2+(a-b)2= 2(a2+b2). (4) a2+b2=12 [(a+b)2+ (a-b)2]. (5) ab=14 [(a+b)2-(a-b)2]. (6) a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1 2 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]. 10. B [解析]由题意,得大正方形的 边长为a+b,小正方形的边长为b- a.∵ 大正方形的面积为100,小正方 形的面积为16,∴ (a+b)2=100, (b-a)2=16,即a2+2ab+b2=100, a2-2ab+b2=16.故①②正 确. ∵ 4个长为b、宽为a 的小长方形的 面积为100-16=84,即4ab=84, ∴ ab=21.又∵ a2+2ab+b2=100, ∴ a2+b2=100-2×21=58.故③不 正确.∵ 0<a<b,∴ a2<b2,即a2- b2<0.故④不正确.综上所述,正确的 为①②,有2个. 11. 7 [解析]设长方形金鱼池的长 和宽分别为am和bm.∴ ab=1, a+b=3.∴ a2+b2=(a+b)2- 2ab=32-2×1=9-2=7.∴ 这两个 正方形小花园的面积之和为7m2. 12. 原式=a2-6ab+9b2+9a2+ 6ab+b2-a2-10ab-25b2+a2- 10ab+25b2=10a2-20ab+10b2. 当a=-8,b=-6时, 原式=10×(-8)2-20×(-8)× (-6)+10×(-6)2=640-960+ 360=40. 13. (1) 规律:若a、b是两个实数,则 a2+b2≥2ab. (2) ∵ (a-b)2≥0, ∴ a2-2ab+b2≥0. ∴ a2+b2≥2ab. (3) ∵ a2+b2≥2ab, ∴ (a+b)2-2ab≥2ab. ∴ (a+b)2≥4ab. ∴ ab≤14 (a+b)2. ∵ a+b=4, ∴ 1 4 (a+b)2=14×4 2=4. ∴ ab≤4. ∴ ab的最大值是4. 14. (1) 140. [解析]设40-x=a, x-30=b.∴ ab=-20,a+b= (40-x)+(x-30)=10.∴ a2+b2= (a+b)2-2ab=102-2×(-20)= 140.∴ (40-x)2+(x-30)2=140. (2) 10. [解析]设2x-3=a,x- 1=b.∴ ab=94 ,-a+2b=(3- 2x)+2(x-1)=1.∴ (-a)2+4b2= (-a+2b)2+4ab=12+4×94=10. ∴ (3-2x)2+4(x-1)2=10. (3) 由题意,得ED=x-14,DG= x-30. ∴ 长方形 EFGD 的面积 为(x- 14)(x-30)=200. 设x-14=a,x-30=b,则 MF= NF=a+b. ∴ ab=200,a-b=(x-14)-(x- 30)=16. ∴ 涂色部分的面积为(a+b)2=(a- b)2+4ab=162+4×200=1056. 第3课时 乘法公式的综合应用 1. D 2. C 3. 2xy+2y2 4. (1) x8-1. (2) 4x4-4y4. 5. (1) 原式=4x2-1-(4x2-12x+ 9)=4x2 -1-4x2 +12x-9= 12x-10. 当x=-1时, 原式=12×(-1)-10=-22. (2) 原式=3x2-12x+12-6x2+ 6=-3x2-12x+18. ∵ x2+4x-4=0, ∴ x2+4x=4. ∴ 原式=-3(x2+4x)+18=-3× 4+18=6. 6. D [解析]原式=m2+8m+16- m2+8m-16=16m.∵ m 为大于0 的整数,∴ (m+4)2-(m-4)2 的值 一定是16的倍数. 7. B [解析]∵ M=(x2+1)(x2- 1)=x4-1,N=(x2+1)2=x4+ 2x2+1,x 是 不 为 0 的 有 理 数, ∴ 2x2+1>-1.∴ x4+2x2+1> x4-1,即N>M. 8. -1 [解析]由题意,得(2x+ 1)(2x-1)-(2x+1)2=2,∴ 4x2- 1-(4x2+4x+1)=2.∴ -4x=4, 解得x=-1. 9. 11