2.2 基本不等式（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

XINKECHENG XUEAN 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 第一课时 基本不等式 明学习目标 知结构体系 1.了解基本不等式的证明过程. 课标 基本不等式 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较 及其变形 要求 代数式的大小 本不等式 基本不等式 比较大小 重点 重点：基本不等式的证明及简单应用. 的应用 难点难点：对基本不等式的理解， 证明不等式 【四】学内安1 落实必备知识 1.基本不等式 (2)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0，而重要不等 式中的a,b是实数.事实上，当a≥0，b≥0时，我们 如果a>0,b>0,则ab a+b,当且仅 分别用v√a,wb代替重要不等式中的a,b,即得a十b≥ 当 时，等号成立 2Va瓜，度形可得时>va品 其中 叫做正数a,b的算术平均数，：(3)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的非负 叫做正数a,b的几何平均数. 数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应非负. 2.常用变形 即时小练/帮你学遥 1)ab≤()a,b∈R,当且仅当a=b 1.判断正误 (1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2√ab.() 时，等号成立 (2)6和8的几何平均数为23. () (2)a+b≥2/ab,a,b都是正数，当且仅当a (3)对任意a,b∈R,a2+b≥2ab,a+b≥2√ab均 =b时，等号成立， 成立 () 微点注解/帮你巴洁 (0若a≠0，则a+日≥2a…日=2 () 1)基木不学式“士>va6中，要求2,6都是非负实数，2.不等式一2十，2)≥2成立的前提条件为（) 1 否则，若a<0,b<0,如a=-2,b=-4,则会出现；A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y (-2)十(-≥√-2)X(-4④的错误结论.若a,b中 :3.已知a,b∈R,则a2+b与2ab的大小关系是() 2 A.a2+b2≥2ab B.a2+62=2ab 有一个小于0，如a=2,b=一4，则√2X(一4)无意义. C.a2+b≤2ab D.a2+62>2abl [四层]学习内容 强化关键能力 [题点一] [方法技巧] 对基本不等式的理解 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)不等式成立的条件是a,b都是正数： [典例]“0<a<b是“√ab<a十b的 2 (2)“当且仅当”的含义：当a=b时，Vab≤ab的 2 A.充分不必要条件 在微“点” B.必要不充分条件 釜本不等式≤少 等号成立，即a=b一a十b-Vab:仅当u=b时，a十 2 中第污城文的乐汁 C.充要条件 是计4？ ≥Vab的等号成立，即a十b=√ab>a=h. 2 D.既不充分也不必要条件 了33 数学必修第一册XINKECHENG XUEAN [对点训练] [题点三] (多选)下面四个推导过程正确的有 利用基本不等式证明不等式 A若ub为正实数则名+名≥2√日·号 b.=2 [典例]已知a,b,c均为正实数，且a十b十c 0 =1.求证：（合-）（合-(2-≥8. 以若aeKa≠0，则县十a2√·a=4 [听课记录] 赢在微“点 人注意“：”的代澳 C若xy∈Ry0,则号+兰=-[(-） +(-]≤-2--)=-2 n.若a<0b<0,则i≤6 [题点二] 利用基本不等式比较大小 [典例](1)设0<a<b,且a+b=1,在下列 四个数中最大的是 ( A日 B.b …[方法技巧]… 利用基本不等式证明不等式的两种题型 C.2ab D.a2+62 (1)无附加条件的不等式的证明，其解题思路是： 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不 (2)已知a>b>c,则，√(a-b)(b-c)与a。9 2 等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变 形、配凑（加减项或乘除某个实系数）等，使之满足使用 的大小关系是 基本不等式的条件. :…[方法技巧]… (2)有附加条件的不等式的证明，其解题思路是： 运用基本不等式比较大小的注意点 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形 代换是一种较为重要的变形.另外，解题过程中要时刻 (2)应注意成立的条件，即a十b≥2√ab成立的条 注意等号能否取到. 件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b:a2十b≥ [对点训练] 2ab成立的条件是a,bER,等号成立的条件是a二b. 已知z十y叶=1，求证x+y+≥3 [对点训练] 1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是() b B. 2 C6>生ah>aD.b>a告a函 2 2.已知a,b是不相等的正数，x=a十6， y= √2 √Q十b,则x,y的大小关系是 疯在微“点”：他，y多平方层再t较大 34 XINKECHENG XUEAN