2.1 等式性质与不等式性质（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章 根推中目士代数学家赵爽的孩图设计的，左 北京乃开的学24届国际潋学家大会的会标 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 明学习目标 知结构体系 1.理解不等关系与不等式的概念. 课标 要求 2.理解实数大小比较的依据。 比较两个实数大小的依据 3.理解等式、不等式的性质. 等式性质与 不等式性质 等式及等式的性质 重点 重点：用作差法比较两实数的大小、不等式的性质。 不等式的性质及应用 难点 难点：不等式性质的应用. 落实必备知识 (一)不等关系与不等式 :2.如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 1.实数a,b的比较大小 50 10 3.5 文字语言 数学语言 等价条件 ① ② ③ ④ a一b是正数 a-b>0 a-b 其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50km/h: a-b等于零 a-b=0 a=b ②限制质量：装载总质量m不得超过10t: a-b是负数 a-b<0 a<b ③限制高度：装载高度h不得超过3.5m: ④限制宽度：装载宽度a不得超过3m, 2.重要不等式 你能用数学式子表示上述关系吗？ 般地，Va,b∈R,有a2+b≥2ab,当且仅 当 时，等号成立 微点注解帮你巴清 (1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥” (二)等式性质与不等式性质 “≤”表示，而不等式则是表示两者不等关系的式 1.等式的基本性质 子，如“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”. 性质 性质内容 (2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个（或 几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可 1 如果a=b,那么 比性的两个（或几个）量之间不能用不等式表示.另外， 2 如果a=b,b=c,那么 在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，一定： 3 如果a=b,那么a士c=b士c 要注意单位的统一。 4 如果a=b,那么ac=bc 即时小练帮你学通 1.若x<0,则x-2与2x一2的大小关系是 如果a=b,c≠0，那么8=b 铺了29 │数学必修第一册│xNKECHENG XUEAN 2.不等式的性质________质4中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相 反。性质4中的a，b可以是实数，也可以是式子． 性质别名性质内容│注意：（3)性质5中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a≥b，c 1ⅵ对称性a≥b⇌b___a⇔_≥d，可以得出a+c≥b+d，但不能得出a-c≥b-d。 2传递性a≥b，b>c⇒a_不可逆4)性质6是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任 意有限个同向不等式两边分别相乘，即若a_1>b_1≥0， ⊥3│可加性a>b⇔a＋c__b＋c可逆a>b_2>0，…，a。≥b≥0，n∈N*，则a_1a_2… 4│可乘性“≥b，c>0→____c的符号5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式， 要注意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“⇔”表 5同向可加性a≥b，c>d⇒___同向示等价关系，可以互相推出，而符号“⇒”只能从左 同向，{边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明不等 「6|同向同正a>b>oc>d>0⇒__」同正式时，要注意是否可逆。 7│可乘方性“≥b≥0⇒a”__b”丁同正即时小练/鹤你学通—一 ___________n∈N，n≥2）1.判断正误 微点注解/帮你理清———___1)若号>1，则a>b。 对不等式性质的理解（2)a与b的差是非负实数，可表示为a-b≥0.() （1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得（3）∀x∈R，都有x2>x-1.（） 的不等式与原不等式同向。性质3是不等式移项法（4)a，bc为实数，在等式中，若a=b，则ac=bc；在不 则的基础。不等式中任何一项改变符号后，可以把等式中，若a>b，则ac≥bc． 它从一边移到另一边．：2.与a>b等价的不等式是 （2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得A.|a|≥|b|B.a>b^∘C“>1D.a^∘>b^3 正，异号相乘得负”的法则来完成的。一定要注意性A.|a|>|b|B.a>tb^C.“>1D.a^3>b^3 i函胞单3为之强化关键能力 [题点一]─______⋮_…[方法技巧] 比较两个实数(代数式)大小的步骤 作差法比较大小 （1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差； [典例]比较下列各组中两个代数式的大小：（2)变形：对差进行变形； （1)已知x≤1，比较3x^3与3x^2-x+1的大小（3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件 （2)设x，y，×∈R，比较5.x^2+y^2+x^2与2xy断差的符号； （4)作出结论． ＋4.x+2x-2的大小。在物”点”，忽视相等的情况[提醒]上述步骤可概括为“三步一结论”，这