12.4　二次函数的应用 第2课时　教案　　　2022—2023学年人教版数学九年级上册

21.4 二次函数的应用 第2课时 一、教学目标 1.能根据实际问题建立合适的平面直角坐标系，找出数量关系； 2.能建立二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决实际问题； 3.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际问题之间的联系，体会“数形结合”的思想，以及建模的转化思想； 4. 经历了建模来解决实际生活中的问题，体会函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系. 二、教学重难点 重点：建立合适的直角坐标系，并找到数量关系，利用二次函数的性质解决问题. 难点：灵活建立直角坐标系，准确找到数量关系. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件等 四、教学过程设计 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 创设 情境 【观察思考】 教师活动：教师展示图片，通过常见的拱桥、悬索桥，引出抛物线. 问题：观察下列建筑构成的形状，可近似看作什么？ 预设答案：抛物线. 追问：你知道如何求这些抛物线的解析 式吗？ 认真观看图片并思考问题 从熟悉的建筑出发引出抛物线，让学生初步感知桥梁建筑类问题与二次函数的联系. 环节二 探究 新知 【合作探究】 问题：如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，现在想了解水面下降1 m时，水面宽度增加多少？你有办法吗？ 预设答案：建立直角坐标系 思考：怎样建立平面直角坐标系比较简 单呢？ 分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示探究方法和过程； 3.教师带领大家完善探究过程. 教师活动：教师让学生展示建立的直角坐标系，并引导学生分析出如何建立平面直角坐标系比较简单. 展示答案： 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. 解答过程： 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线表示的二次函数为y=ax2. 由抛物线经过点(2，–2)，可得 –2=a×22， 这条抛物线表示的二次函数为 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为–3，如图设点P的横坐标为x1， 由题意知 当水面下降1 m时，水面宽度增加m. 【归纳】 建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤： ①根据题意建立适当的平面直角坐标系. ②把已知条件转化为点的坐标. ③合理设出函数的解析式. ④利用待定系数法求出函数解析式. ⑤根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题. 分组交流讨论 从“数” (解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际问题之间的联系，体会“数形结合”的思想，以及建模的转化思想. 通过归纳让学生熟悉建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤.同时培养归纳概括能力. 环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】如图（1），悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. （1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2），求这条抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长. 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得 81.5=a·4502+0.5. 解方程，得 答：所求抛物线对应的函数表达式为 明确例题的做法. 通过例题的探究让学生经历建模来解决实际生活中的问题，进一步体会函数知识的实际应用价值. 环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在坐标系中，则抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 2.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m,两侧距地面3 m高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m,如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m) ( ) A. 6.9 m B. 7.0 m C. 7.1 m D. 6.8 m 答案：A 3.河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图)，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时： （1）求此时水面的宽度CD为多少米？ （2）若游船的宽度(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？ 解：(1)建立如图所示的直角坐标系， 则点E(0，3)，A(3，0)，B(– 3