第四章 概率初步-【数学文化趣读】2022九年级上册数学读本

57 58 在印度,流传着一个古老的故事. 部落里有一位美丽又聪慧的公主,待嫁闺中,提亲者络绎不绝,但公主都 不中意.这天,有一位王子前来向公主求婚.公主为了考验王子的智慧,就请 人拿来两个盒子(如图4-1),其中一个装着10枚金币,另一个装着10枚同样 大小的银币.公主请人把王子的眼睛蒙上,并且将两个盒子的位置调换,然后 让王子在两个盒子中任意挑选一枚硬币,如果选到金币,公主就嫁给他;如果 选到银币,公主就不会嫁给他.王子说:“在蒙上我眼睛之前,能否让我任意调 换盒子里的硬币组合呢?”公主表示同意. 图4-1 王子思考了一会儿,决定在装有金币的盒子里留1枚金币,把另外9枚金 币放进另一个盒子里,这样,另一个盒子里就有10枚银币和9枚金币…… 王子是幸运的,他如愿以偿娶到了公主.当然,并不仅仅是他运气好,而 是他的聪明赢得了公主的芳心. 王子能通过考验娶到公主完全是因为幸运吗? 我们很容易知道,调换之前, 王子能选到金币的概率是 1 2 ,那么调换硬币之后,选到金币的概率又是多少呢? 58 59 概率论的起源 概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外 乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却起源于所谓 的“赌金分配问题”. 说起概率论起源的故事,就要提到法国的两个数学家:一个叫帕斯卡,一个叫 费马.帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家,费马是一位业余的大数学家. 帕斯卡 费马 1494年,意大利数学家帕西奥尼(1445-1509)出版了一本有关算术方面 的书.书中叙述了这样一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家.那 么,当甲方胜了4局,乙方胜了3局的情况下,因出现意外,赌局中断,无法完 成.此时,赌金应该如何分配呢? 帕西奥尼的答案是应当按照4∶3的比例把赌 金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为, 已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金,而另一方则需要胜 3局,并且至少有2局必须连胜,这样要困难得多.但是,人们又找不到更好的 解决方法.在这以后的100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均 未得到合理的答案. 直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡 请教“赌金分配问题”,这才引起了这位法国天才数学家的兴趣,帕斯卡在写 给好友费马的信中提出了这个问题.费马是当时法国一位业余数学家,两个 59 60 数学家经过了一番激烈的讨论之后,他们分别用自己的方法独立而又正确地 解决了这个问题.最终一致认同“分赌注”问题中的分法. 费马的解法是,如果继续赌局,最多只要再赌4轮便可决出胜负;如果用 “甲”表示甲方胜,用“乙”表示乙方胜,那么最后4轮的结果,不外乎以下16种 排列. 甲甲甲甲 甲甲乙乙 甲乙乙乙 甲甲甲乙 甲乙甲乙 乙甲乙乙 甲甲乙甲 甲乙乙甲 乙乙甲乙 甲乙甲甲 乙乙甲甲 乙乙乙甲 乙甲甲甲 乙甲乙甲 乙乙乙乙 乙甲甲乙 在这16种排列中,当甲出现2次或2次以上时,甲方获胜,这种情况共有 11种;当乙出现3次或3次以上时,乙方获胜,这种情况共有5种.因此,赌金 应当按11∶5的比例分配. 帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形”,欧洲人常称之为“帕 斯卡三角形”.事实上,早在北宋时期中国数学家贾宪就在《黄帝九章算法细 草》中讨论过这种三角形,后经南宋数学家杨辉加以完善,并载入其著作《详 解九章算法》一书中.这就是我们常说的“杨辉三角”. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 7151 2871 7161 7161 287715 286 78 13 1 1 14 91 3641 0012 0023 0033 4323 0032 0021 001364 91 14 1 三角形数 贾宪对此三角形的研究比帕斯卡早了600余年,杨辉也比帕斯卡早了 400余年.近些年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,有些数学史书上开始 称它为“中国三角形”(Chinese triangle)了.杨辉三角是中国古代数学的杰出 60 61 研究成果之一,它