第三章 圆-【数学文化趣读】2022九年级上册数学读本

36 37 拿破仑(1769-1821)是位伟大的军事家,忙于打仗,但也热衷于数学的 研究,他与当时的许多法国知名数学家,如拉格朗日、拉普拉斯等交往都颇为 密切.有一天,拿破仑照例和数学家们讨论数学,期间他提出这样一个问题: “给出一个圆(如图3-1),只准用圆规,如何把圆周分成四等分?”数学家们给 出了答案.(这个问题其实运用了尺规画图的原理.如果规定用圆规“画直线” 可以理解为“若已知直线上两点,则可画出直线上任意多个点”.那么就可以 证明:能用圆规与直尺完成的图,都可以用圆规单独完成.) 拿破仑 图3-1 你知道这个问题是怎么解决的吗? 37 38 圆的探索 古代人最早的生活完全受自然的影响,遵循“日出而作,日落而息”的规 律.白天的太阳,夜晚的月亮,古人从中得到圆的模糊概念.正是从对自然界 的模仿中,人们开始作出圆这种图形以及圆形的器物.那么,世界上第一个做 出圆的是什么人呢? 根据出土的山顶洞人的项链和骨针,科学家推测很早之前山顶洞人就学 会了钻孔技术,他们用一种尖状的石器来钻孔,一面钻不透,再从另一面钻. 事实上,这种钻孔的劳动,就是制作出圆这个图形的过程.钻孔石器的尖端好 比圆心,石器尖端到手握的石器末端的距离就是半径,山顶洞人手握石器,以 同一个半径和固定不变的圆心为基础,一圈圈地转,就钻出了一个孔.圆从这 个时期开始进入到人类的生活. 山顶洞人时期的“钻孔化石” 随着人类文明的不断发展和进步,当人们进入陶器时代时,陶器成为生 活的必需品,在众多陶器的制作过程中,圆形的陶质器皿的制作过程最受人 们欢迎.在大量的陶器制作过程中,人们总结出了一个经验,就是将泥土放在 一个转盘上不停地旋转、捏制,就形成了圆形的器皿,这样既省时又省力.这 个时期,圆对人类生活的影响就开始越来越大了.虽然那时还没有系统的几 38 39 何理论,但是先民的智慧已经在实践中自然生成了. 陶器制作 约6 000年前,半坡人就已经会造圆形的房顶了.他们还发现把圆的木头 滚着走比较省劲.后来,他们在搬运重物时,就把几段圆木垫在重物的下面滚 着走,这样就比扛着走省力得多.同一时期,美索不达米亚人做出了世界上第 一个圆的木轮.约在4 000年前,人们将圆的木轮固定在木架上,这就成了最 初的车.时至今日,外面随处可见的车,毫无例外,车轮全是圆的. 古代“战车” 为什么车轮一定得是圆的呢? 方形、三角形、椭圆形为什么就不行呢? 其实,还真的有人设计过正方形轮子的车,但由于两点原因,现在这种车 只是用于猎奇娱乐,根本不适用于生活. 之所以把车轮做成圆形的,第一是因为圆周上的点到圆心的距离相等, 车子行驶起来更加平稳.试想一下,开个三角形轮子的车,一路上颠簸,哪有 39 40 舒适可言.第二是因为圆轮在滚动时摩擦力小,车子会更省力,更省能源.所 以,这些优点使得圆形车轮成为首选. 车轮的演变 不仅会作圆而且还真正了解圆的性质,并给出圆的概念的,是2 000多年 前我国的墨子.《墨经》上记载:“圆,一中同长也.”意思是说,圆中心有一个点 到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早约 100年. 对于圆的研究,古代的数学家们为此付出了艰苦的努力.公元前11世纪, 我国西周时期的数学家商高曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆,人们 也就开始了有关圆的种种计算,特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九 章算术》在第一章“方田”中写到“半周半径相乘得积步”,也就是我们现在所 熟悉的这个公式S=πr2.为了证明这个公式,我国魏晋时期的数学家刘徽于 263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇1 800余字的注记,这篇 注记的内容就是数学史上著名的“割圆术”. 除了上述面积计算公式外,《九章算术》还有近似计算公式.《方田》第三 十六题中有弧田(指现在的弓形)面积计算公式:“术曰:以弦乘矢,矢又自乘, 并之,二而一.”用现代的符号表示即S弓= 1 2 (bh+h2),这是一个经验公式, 所得近似值不是很精确. 北宋科学家沈括创立了“会圆术”,即已知弓形的高和圆的直径求弧长的 方法,推算出弓形弧长l=a+ 2h2 d . 元代数学家李冶著有《测圆海镜》,收录的问题都是与“圆城图式”有关的 勾股形各边与各内切圆和旁切圆直径的计算问题. 40 41 沈括 不但中国的数学家在研究圆,外国的数学家也在研究.公元前3世纪,古 希腊数学家阿基米德发现:当正多边形的边数增加时,它的形状就越来越接 近圆.这一发现提供了计算圆周率的新途径.阿基米德用圆内接正多边形和 圆外切正多边形从两个方向上同时逐步逼近圆,得到了圆周率的取值在3 10 71 与3 1 7 之间. 古希腊的数学家