第二章 二次函数-【数学文化趣读】2022九年级上册数学读本

21 22 在足球比赛时,猛踢一脚,射门! 足球划出一条美丽的弧线,球进了! 那 将是多么激动人心的事.来到河北赵县,看到引以为傲的赵州桥时,你一定会 惊叹在当时条件下,怎会有这样的杰作.夜晚,当你看到伴随美妙音乐呈现出 五彩斑斓的喷泉时,你一定有一种天上人间般的感觉(如图2-1). 图2-1 这些曲线如果抽取出来,就都是抛物线.只要我们细心观察,会发现生活 中有很多与抛物线有联系的事物,你还能举出哪些生活中的例子呢? 函数概念的产生 恩格斯说:数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数 学;有了变数,辩证法进入了数学.笛卡儿在1637年出版的《几何学》中,第一 次涉及变量,他称之为“未知和未定的量”,同时也引入了函数的思想.英国数 学家格雷果里在1667年给出的函数定义,被认为是函数解析定义的开始.他 22 23 在《论圆和双曲线的求积》中指出:从一些其他量经过一系列代数运算或任何 其他可以想象的运算而得到的一个量.这里的运算指的是五种代数运算以及 求极限运算,但这一定义在当时未能引起人们的重视. 莱布尼茨 一般公认最早给出函数定义的是德国数 学家莱布尼茨.他在1673年的一篇手稿中, 把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几 何量,如切线、法线和点的纵坐标都称为函 数;并且强调这条曲线是由一个方程式给出 的.莱布尼茨又在1692年的论文中,把幂与 函数看作同义语,后来又用“函数”表示依赖 于一个变量的量. 1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们 把前面的变量称为后面变量的函数.在欧拉的定义中,很明显已经不强调函 数要用公式表示了.由于函数不一定要用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系 的曲线也称为函数. 函数概念的扩张 函数概念被提出后,由于微积分学的发展,函数概念也在不断进行扩张, 日趋精确化、科学化. 函数概念在发展过程中,大致经过了以下几个阶段的扩张. 函数概念的第一次扩张主要是解析扩张,提出了“解析的函数概念”.瑞 士数学家约翰·伯努利于1698年给出了函数新的定义:由变量x 和常量用 任何方式构成的量都可以叫x 的函数.这里的“任何方式”包括了代数式和超 越式.1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是:变量的函数是 一个解析表达式,它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的.1734年欧 拉还曾引入了函数符号fx ,并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函 数、一元函数和多元函数等.在18世纪占主要地位的观点是:把函数理解为一 23 24 个解析表达式(有限或无限的). 函数概念的第二次扩张是在几何方面的扩张,提出了“几何的函数概 念”.18世纪中期的一些数学家发展了莱布尼茨将函数看作几何量的观点,从 而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线).达朗贝尔在1746 年研究弦振动问题时,提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数的观 点,后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的,因此提出了一个 新的定义:函数是平面上随手画出来的曲线所表示的任意解析式.自此,把函 数定义为由既包括单个解析式表达出的连续函数,也包括由若干个解析式表 达出的不连续函数(不连续函数的名称是由欧拉提出的). 函数概念的第三次扩张,朴素地反映了函数中的辩证因素,体现了“自 变”到“因变”的生动过程,形成了“科学函数定义的雏形”.1775年,欧拉在《微 分学原理》一书中,给出了函数的另一定义:如果某些变量,以这样一种方式 依赖于另一些变量,即当后者变化时,前者也随之变化,则称前面的变量为后 面变量的函数.值得指出的是,这里的“依赖”“随之变化”等的含义仍不十分 确切.这个定义限制了概念的外延,它只能算函数概念的科学雏形.在这次函 数概念的扩张中,19世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《分析教 程》中,给出了如下函数定义:在某些变量间存在着一定的关系,一经给定其 中某一变量的值,其他变量的值也随之确定,则将最初的变量称为自变量,其 他各个变量称为函数.这个定义厘清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠 不清的关系,也避免了数学意义不太严谨的“变化”一词.函数是用一个式子 或多个式子表示,甚至是否通过式子表示都无关紧要. 函数概念的第四次扩张,标志着“科学函数定义”进入精确化阶段.德国 数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义:若对x(a≤x≤b)的每一个值,y 总有完全确定的值与之对应,不管建立起这种对应的法则的方式如何,都称y 是x 的函数.这一定义彻底抛弃了前面一些定义中解析式的束缚,强调和突 出了函数概念的本质(即对应的思想),使之具有更加丰富的内涵.因而,此定 义才真正称得上是函数的科学定义,为理论