1.2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（北师大版）

2．2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 　 观察下列语句，回答下列问题。 (1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)存在一个x∈R,2x＋1是整数。 【问题】　1.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？ 提示：语句(1)无法判断真假，不是命题；语句(3)在语句(1)的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题，语句(1)是命题(3)中的一部分。语句(2)无法判断真假，不是命题；语句(4)在语句(2)的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题。语句(2)是命题(4)中的一部分。 2．常见的量词有哪些？(至少写出5个) 提示：常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等。 常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，提升数学抽象及逻辑推理的核心素养。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．全称量词与全称量词命题 (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题。 (2)在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”。 2．存在量词与存在量词命题 (1)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。 (2)在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”。 　 微思考 1．全称量词和存在量词的含义分别是什么？ 提示：全称量词表示整体或全部；存在量词表示个别或一部分。 2．在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？ 提示：在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略。 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题。(√) 解析　全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”。 (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题。(√) 解析　存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”。 (3)全称量词命题一定含有全称量词。(×) 解析　有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故说法是错误的。 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 答案　B 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在实数x，平方为8 C．所有菱形的四条边都相等 D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立 解析　A，C为全称量词命题，A错误，C正确；B，D为存在量词命题。 答案　C 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 　 类型一 全称量词命题与存在量词命题的判断　　 【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0。 (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，满足x2≥2。 (3)是存在量词命题，表示为存在四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直。 (4)是存在量词命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大。 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题。 (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质。 【变式训练】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形都是正方形； (3)有些素数的和仍是素数； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形，故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题。 (4)若一个四边形是菱