常考题型09 应用基本不等式求最值和证明不等式-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型09 应用基本不等式求最值和证明不等式 1.如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。因此基本不等式又被称为均值不等式。 2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。 3.几个常用的重要结论 (1)(a与b同号，当且仅当a=b时取等号)； (2)≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，≤-2(a<0，当且仅当a=-1时取等号)； (3)ab≤(a，b∈R，当且仅当a=b时取等号)； (4)(a，b>0，当且仅当a=b时取等号)。 考法一：求最值 1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。 (1)各项或各因式均为正； (2)和或积为定值； (3)各项或各因式能取得相等的值。 2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有： (1)加项变换； (2)拆项变换； (3)统一换元； (4)平方后利用基本不等式。 3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。 考法二：证明不等式 1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。 2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。 3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。 探究一：基本不等式求积的最大值 已知，，，则的最大值为___________. 思路分析： 由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可。 【解析】解：，当时取等， 所以， 故令，则， 所以， 当时，等号成立. 所以的最大值为 故答案为： 【答案】 【变式练习】 1．已知，，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】解：， ，即，当且仅当，即或时，等号成立， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】由，得． ∵，，∴． ∵， ∴，当且仅当时，等号成立. ∴， ∴实数a的取值范围是． 故答案为：. 探究二：基本不等式求和的最小值 已知，若，则的最小值为___________． 思路分析： 根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值。 【解析】因为， 所以， 整理可得， 由已知，则，可得， 即，所以，所以， 所以， 当且仅当是取到等号，又，所以取到最小值. 故答案为：. 【答案】 【变式练习】 1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】解：因为关于x的一元二次方程的两个解分别为， 所以，解得， ， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________． 【答案】17 【解析】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 故答案为：17 探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值 不等式的解集为，则的最大值为____________. 思路分析： 分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值。 【解析】当时，即不等式的解集为，则，， 要使得有意义，此时，则； 当时，若不等式的解集为，则，即， 所以，， 因为，则， 当时，则，此时； 当时，则，令，则， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 【答案】 【变式练习】 1．是不同时为0的实数，则的最大值为________． 【答案】 【解析】, ， 当且仅当时取等号，所以 的最大值为． 故答案为：． 2．已知，则的最大值为______________; 【答案】 【解析】当时，，，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 探究四：利用基本不等式证明不等关系 已知a，b，c均为正实数，求证： (1)； (2)． 思路分析： （1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论， （2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论。 【解析】（1）证明：左边， 当且仅当时取“＝”． 故． （2）证明：因为，当且仅当时取“＝”， 所以， 所以，所以，① 同理，当且仅当时取取“＝”，② ，当且仅当时取“＝”．③ ①+②+③，得， 当且仅当时等号成立． 【变式练习】 1．已知a，