常考题型08 一元二次不等式的求解问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型08 一元二次不等式的求解问题 1.一元二次不等式：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解与解集 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解。一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。 3.分式不等式 若f(x)与g(x)是整式且g(x)中含有未知数(g(x)≠0)，则不等式f(x)>0(或<0)称为分式不等式. 4.一元高次不等式：最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式。 5.含参数的不等式恒成立问题通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题。 6.一元二次不等式的恒成立问题通过抛物线的开口方向以及相应方程的判别式与零的关系列式解决。 考法一：解一元二次（高次）不等式及分式不等式 1.解一元二次不等式 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax²+bx+c>0(a>0)或ax²+bx+c<0(a>0)的形式； (2)计算相应方程的判别式； (3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集. 2.解分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)，g(x)≠0. 3.解一元高次不等式 (1)将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正）或二次不可分解因式的积. (2)求出各因式等于0时的实数根，并在数轴上依次标出。 (3)自最右端上方起，用曲线自右至左依次由各根穿过数轴，遇到奇次重根一次穿过，遇到偶次重根穿而不过. (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集.这种方法叫根轴法或穿根法或穿针引线法。 考法二：含参数的一元二次不等式的解法 一般步骤： (1)二次项系数若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断相应方程的根的个数，讨论判别式△与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。 考法三：二次不等式恒成立与有解问题 1.图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 2.更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗.一般思路为将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解. 3.分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（或范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x) max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x) min。 探究一：解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)； (2)． 思路分析： （1）分解因式得，进而解即可； （2）将不等式转化为，再解不等式即可. 【解析】（1）解：原不等式因式分解得， 因为，所以，解得或， 因此，原不等式的解集为或； （2）解：由，得， 即，等价于，解得或， 因此，原不等式的解集为或． 【答案】(1)或； (2)或 【变式练习】 1．不等式的解是___________. 【答案】 【解析】由题设，， ∴，可得， 原不等式的解集为. 故答案为：. 2．不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】依题意，不等式化为：， 解得：或，解，即得：， 所以不等式的解集是. 故答案为： 探究二：解含参数的一元二次不等式 “已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”有如下解法:由，得，令，则，即:，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________. 思路分析： 根据已知条件将不等式变形为，由此得到的取值范围，从而可求解出的取值范围，即可求解出不等式解集。 【解析】已知关于的不等式的解集为，令， 原不等式化为，又因为，所以， 解得 故答案为：. 【答案】 【变式练习】 1．设，则关于的不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】时，，且， 则关于的不等式可化为， 解得或，  所以不等式的解集为，，． 故答案为： 2．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】解：由不等式的解集是，可知，且， 所以，不等式可化为，解得． 所以不等式的解集是. 故答案为： 探究三：由一元二次不等式的解确定参数 已知关于x的不等式的解集