常考题型07 利用不等式的性质求范围-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型07 利用不等式的性质求范围 不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c→a>c. (3)可加性：a>b⇒a+c>b+c. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d→a+c>b+d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则：a>b>0⇒aⁿ>bⁿ(n∈N，n≥2). (8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). 1.一般方法 (1)借助不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解. 2.由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d求f(x，y)的取值范围 可利用待定系数法解决，即设f(x，y)=mf(x，y)+ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得f(x，y)的取值范围. 3.两点注意：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围。 已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 思路分析：利用整体思想，设，利用待定系数法解出与， 然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误。 【解析】令，则， 解得，， 故， 又，故， 又，所以. 故选：C. 【答案】C 【变式练习】 1．,,,,设,则下列判断中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：a、b、c、d∈R＋， 2．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：令，，则， 则， ， ， 又， ， ∴， 故选：B． 3．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， ∴，即， ∴，故. 故选：D 一、单选题 1．已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故，，得 故选：B 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得：， 因为，所以， 故选：A. 3．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以. 故选：B 4．若实数x，y满足，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设， 则，解得， 故， 又因， 所以， 所以. 故选：A. 5．，，，，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，，，，， ； ， . 故选：D 6．已知满足则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 比较的系数，得从而解得 即， 由题得， 两式相加，得. 故选A. 7．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，解得， ， ，，， 由不等式的性质可得，即， 因此，的取值范围是，故选D. 8．已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，则，即， 可得可取； 当时，则， 可得可取； 当时，则，解得，或， 进而解得为； 当时，则，可得为； 所以方程的解的个数为， 故选：B. 二、多选题 9．已知实数，满足，，则可能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故选：BC. 10．已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，故A正确； 故B不正确； 设， 则 ， 故C正确、D错误； 故选：AC 11．已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：因为， 所以， 则，即，故A正确； 对于B：又，， 所以，即，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：ABD 12．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1 【答案】ABC 【解析】由，得， ， 设，则. ， ，解得，即，，故AB正确； ，即. ，即. 由a，知，. ∴，解得，同理可得，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 13．若，，，则t的取值范围为______． 【答案】 【解析】设，则，解得．因为，，所以，即． 故答案为：. 14．已知