常考题型06 不等式中比较数（式）的大小问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型06 不等式中比较数（式）的大小问题 实数大小与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a>b； a-b=0⇔a=b； a-b<0⇔a<b. 1.作差法：一般步骤是①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法：一般步骤是①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论. 3.特值法：若是选择题、填空题，可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特殊值探究思路，再用作差法或作商法判断。 探究一：作差法比较代数式的大小 设a，bR，，则（    ） A． B． C． D． 思路分析：利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可。 【解析】因为，则，所以，即，故A错误； 因为，所以，则， 所以，即， ∴，，即，故B错误； ∵由，因为，所以，又因为，所以，即，故C错误； 由可得，，故D正确. 故选：D. 【答案】D 【变式练习】 1．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确； 对于B选项：当时，，故B选项不正确； 对于C选项：当时，，，又，， 故C选项正确； 对于D选项：， ，，，，故D选项不正确； 故选：C 2．给出下列命题： （1）若，，则 （2）若，，则 （3）若，且若，则 （4）若，，，则 其中正确的命题是（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【解析】（1）取，显然不成立，故错误； （2）因为，所以成立，故正确； （3）取，则不成立，故错误； （4）因为，所以，所以，即，故正确. 故选：C 探究二：作商法比较代数式的大小 设，，且，试比较，，三者的大小 思路分析： 先分为和两种情形，利用作商法，结合，的符号，将其结果和1比较，综合即可得结果。 【解析】由题知，，且. 当时，，，， ∴， ∴； 当时，，，, ∴， ∴ ∴，且时，总有. 同理可得，，且时， 综上所述，. 【答案】 【变式练习】 1．已知，试比较与的大小. 【答案】 【解析】， ，. 两数作商 ， . 2．已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】方法一：由题意 ， 因为，，所以，，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 方法二：由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：因为，所以， 所以，故A错误； 选项B：因为，则， 所以，即， 又，所以不等式 两侧同时乘以，则，故B错误； 选项C：当时，此时， ，， ，故C错误； 选项D：因为，所以， 则 ，故D正确. 故选：D. 2．已知，则下述一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为， 所以，，故AB错误； ，所以， 所以，所以， 即，故C正确； 对于D，若时， 则，故D错误. 故选：C. 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，故，即，故A错误； 对于B，，无法判断，故B错误； 对于C，因为，，故C正确； 对于D，因为，故，即，故D错误． 故选：C． 4．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 5．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】对于A，若，则， 故A正确； 对于B，当时，，故B不正确； 对于C，不妨取 ，则，故C错误； 对于D，若，，不妨取 ，则，D错误， 故选：A 6．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：若，，则，化为，可得，故B正确； 对于C：若，所以，，则，故，故C错误； 对于D：若，，则，所以，所以，，故D正确； 故选：C 7．下列不等式： ①； ②； ③； ④ 其中恒成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立； 对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立； 对于③，，∴，故③恒成立； 对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立； 故恒成立的结论是①③④ 故选：B． 8．实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由