常考题型05 全称量词与存在量词的求解问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型05 全称量词与存在量词的求解问题 1.(1)“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。 (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题。 2.(1)“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。 (2)含有存在量词的命题叫做存在量词命题。 3.全称量词命题p:∀x∈M,p(x)(¬p(x)).存在量词命题p:∃x∈M,p(x)(¬p(x))。 4.常用否定词 一般地，写一个命题的否定时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，一些常用的词语和它的否定词语对照列表如下： 原词语 等于 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 至多有一个 至少有一个 至多有n个 任意的 任意两个 所有的 能 否定词语 不等于 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 至少有n+1个 某个 某两个 某些 不能 考法一：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 1.全称量词命题真假的判断 (1)要证明“∀x∈M，p(x)”为真. ①定义法：对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真. ②间接法：证明‘ 为假. (2)要证明“∀x∈M，p(x)”为假. ①特值法：在给定的集合内找到一个元素，使p()为假，则全称量词命题为假； ②间接法：证明 为真。 2.存在量词命题真假的判断 (1)要证明“∃∈M，p()”为真。 ①特值法：在给定的集合内找到一个元素，使p()为真，则存在量词命题为真； ②间接法：证明‘ 为假. (2)要证明“∃∈M，p()”为假，需证明 为真。 考法二：全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为 存在量词命题“∃∈M，p()”的否定为 (2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词； ②将结论加以否定.可简记为“前变后否”. 考法三：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题 与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，主要方法是分离参数法，最终转化为最值问题.分离过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边，再求右边式子的相应最值，变形必须是恒等的。 探究一：判断全称、存在量词命题的真假 对三个正实数、、，下列说法正确的是 A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2 B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C．对（、、）任意值，、、都不小于2 D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2 思路分析：假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误. 【解析】若、、均小于，则， 但由基本不等式可得 、、不能均小于，则错误 当，，时 ，， 存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确 当，时 ，， 存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误 当时， 存在的一组值，使得、、均不小于，则错误 本题正确选项： 【答案】B 【变式练习】 1．在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【答案】B 【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除； 选项B，，，故该选项正确； 选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除； 选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B. 2．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因为非空集合P，Q满足，所以， 对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误； 对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，；若，则，；故 BD错误． 故选：A． 探究二：全称量词命题的否定及其真假的判断 下列命题中，假命题是（    ） A．的充要条件是 B．，是的充分条件 C．命题“，使得”的否定是“都有” D．命题“，”的否定是“，” 思路分析：A. 利用特殊值法判断； B. 利用不等式的基本性质判断； C.由含有一个量词的命题的否定的定义判断；D. 由含有一个量词的命题的否定的定义判断； 【解析】A. 当时，不成立，故不充分；当可推出，故必要，故错误； B. 由不等式的基本性质知，可推出，故充分，故正确； C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确； D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确； 故选：A 【答案】A 【变式练习】 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题的否定是 故选：A 2．设命题p：任一实数的平方都不小