常考题型04 充分条件与必要条件的求解问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型04 充分条件与必要条件的求解问题 一、充分、必要条件与充要条件的含义 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； (3)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件； (4)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； (5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件. 二、命题成立的充分、必要、充要条件的探求 (1)充分条件：寻求q的充分条件，即p⇒q. (2)必要条件：寻求q的必要条件，即q⇒p. (3)充要条件: ②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。 考法一：充分、必要条件的判定 1.定义法：定义法是判断充分、必要条件最基本的方法，步骤如下： ①分清条件与结论(p与q)； ②找推式：即判断p⇒q及q⇒p是否成立，当p，q中有一方较难(如p)、一方较易(如q)时，我们可先找p的等价条件p'，再看p'与q的关系； ③下结论：是q的充分不必要条件，p是q的既不充分也不必要条件。 2.集合法 设p={x|p(x)}，q={x|q(x)}，则 ①若p⊆q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； ③若p=q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)； ④若 且 则p是q的既不充分也不必要条件。 3.等价法 是 的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件； 是 的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件； 是 的充要条件⇔p是q的充要条件； 是 的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件。 考法二：充要条件的证明 1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系； 2.要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立；而 证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立。 考法三：根据充分、必要条件求参数的取值范围 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系。 2.根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解。 3.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解。 探究一：充分、必要条件的判断 已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 思路分析：求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论。 【解析】，则或，即命题为真对应集合或， ，则，命题为真对应集合，对应集合， 易知是的真子集，∴是的充分不必要条件． 故选：A． 【答案】A 【变式练习】 1．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，集合，满足， 故“”可以证得“”， “”是“”的充分条件， 若，则的值为、都可， 故“”不是“”的必要条件， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．已知，，则“”是“”成立的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】不妨令，，故不能推出， 若，故，同号， 若，都大于0，则，从而； 若，都小于0，则，从而， 故能推出， 从而“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 探究二：充要条件的证明 设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 思路分析：（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围； （2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围。 【解析】(1)由，得， 解得，所以， 由p是q的充要条件，得，即，解得， 所以实数a的取值范围是； (2)由p是q的必要不充分条件，得， 又，则，所以，解得， 综上实数a的取值范围是． 【答案】(1)；(2) 【变式练习】 1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是． 【解析】（1）先证充分性：若，则，∴成立 （2）再证必要性：若成立，∵，∴，又因为中，，∴，∴，∴． 综上可知，的充要条件是． 2．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问