常考题型02 确定集合间的关系-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型02 确定集合间的关系 子集 如果集合A的元素都是集合B的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为A⊆B。 真子集 如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A为集合B的真子集。 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 常用结论：含n个元素的集合的子集个数为2ⁿ ，真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2。 考法一：判断集合间的关系 1.列举观察法：当集合中元素较少时，可分别列出两个集合中的全部元素，根据定义，通过比较两个集合中的元素即可判断两集合之间的关系. 2.元素特征法：当两集合的代表元素一样（集合属性相同，同为数集、同为点集或同为其他集合）时，可利用集合元素的特征判断关系. 一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}. (1)若p(x)⇒q(x)，则A⊆B； (2)若q(x)⇒p(x)，则B⊆A； (3)若p(x)⇔q(x)，则A=B； (4)若p(x) 不能推出q(x)，且q(x)不能推出p(x)，则集合A，B无包含关系。 3.数形结合法 利用数轴或Venn图.不等式解集之间的关系，适合用数轴法.若A⊆B和A真包含于B同时成立，则A真包含于B更能准确表达集合A，B之间的关系。 考法二：确定集合的子集 1.列举法：当一个集合的元素个数较少时，可列出其全部子集. 用列举法确定集合的子集时，要注意 (1)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (2)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身. 2.公式法：已知集合中的元素有n(n∈N)个，那么这个集合的子集有2ⁿ 个，它的真子集有(2ⁿ-1)个。 探究一：判断两个集合的包含关系 给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 思路分析：①空集中不含任何元素，由此可判断①； ②是整数，故可判断②正确；③通过解方程，可得出，故可判断③；④根据为正整数集可判断④；⑤通过解方程，得，从而可判断⑤. 【解析】①，故①错误；②是整数，所以，故②正确；③由，得或，所以，所以正确；④为正整数集，所以错误；⑤由，得，所以，所以错误. 所以正确的个数有2个. 故选：B. 【答案】B 【变式练习】 1．已知集合则的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为，， 所以. 故选：C． 2．已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 【答案】B 【解析】解：集合，，， 集合，，， 集合，，， 时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；所以， 故选：B． 探究二：根据集合的包含关系求参数 已知，，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 思路分析：集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围。 【解析】集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得： 故选：B 【答案】B 【变式练习】 1．若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，即，时成立；当时，满足，解得；综上所述：. 故选：C. 2．已知集合，，若，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得， 因为， 所以 当时， 当时，；当时，；故实数的取值集合是. 故选：C 探究三：判断两个集合是否相等及根据集合相等求参数 已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 思路分析：根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可。 【解析】由题意，集合，即 （1）若，则，此时，成立；故 （2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；（3）若，即或 当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立 综上：，， 故选：A 【答案】A 【变式练习】 1．若集合，，则集合之间的关系为（    ） A．AB B．BA C． D． 【答案】C 【解析】设任意，则，当时， 所以；当时， ，所以．所以 又设任意，则 因为，， 且表示所有的偶数，表示所有的奇数． 所以与都表示所有的奇数．所以． 所以故． 故选：C. 2．已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 探究四：判断集合的子集（真子集）的个数 已