专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合与常用逻辑用语 知识点1 集合的概念与特征 1、集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 集合三要素：确定性、互异性、无序性. 2、集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等. 3、元素和集合的关系：属于（）和不属于（）. 4、常见数集及其记法： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 5、集合的表示方法： （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法. （2）描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. 知识点2 集合间的基本关系 1、子集：对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素， 则称集合是集合的子集，记作. 2、真子集：如果集合，但存在元素，且，则称集合是集合的真子集. 记作：集合(或). 3、空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作：.并规定：空集是任何集合的子集. 4、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点3 集合的基本运算 1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集. 记作：，即. 2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：，即. 3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即. 知识点4 充分条件与必要条件 1、命题：可以判断真假的陈述句叫命题； 2、充分条件、必要条件与充要条件 （1）如果“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，我们就说由可以推出， 记作，并且说是的充分条件，是的必要条件； （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能提出结论，记作，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件； （3）如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作 （4）此时则是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件．如果，那么与互为充要条件. 3、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，记为. （2）存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，记为. 2、全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题：，它的否定： （2）存在量词命题：，它的否定： 3、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 考点1 集合中元素的特性 【例1】（2022·全国·高一课时练习）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国， 能构成集合. 对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合， 对③，方程，，方程无实根，集合为空集， 对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B 【变式1-1】（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）下列各组对象中不能形成集合的是（ ） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生 【答案】A 【解析】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合； 对BCD，各组对象均满足确定性，互