专项12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用 角平分线＋垂直构造全等模型：秘籍：往角两边作垂线 解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等 【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【答案】略 【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°， ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF， ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 而∠PDO+∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF（AAS）， ∴PC＝PD． 【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【答案】略 【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°， ∵AD是∠EAF的平分线， ∴DM＝DN， ∵∠ACD+∠ABD＝180°， ∠ACD+∠MCD＝180°， ∴∠MCD＝∠NBD， 在△CDM和△BDN中， ∠CMD＝∠BND＝90°， ∠MCD＝∠NBD， DM＝DN， ∴△CDM≌△BDN， ∴CD＝DB． 【变式1-2】（秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 【答案】（1）略 （2）BE＝1，AE＝4． 【解答】（1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴5﹣x＝3+x， 解得