专项11 用截长补短法构造全等三角形综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项11 用截长补短法构造全等三角形综合应用 截长补短法原理： 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中）· 截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 · 补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起 · 【典例1】（2020秋•富县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD． 【答案】略 【解答】证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD． 在△ADC和△ADE中， ∴△ADC≌△ADE（SAS）． ∴DC＝DE． ∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED， ∵AB﹣AE＝BE， ∴AB﹣AC＞BD﹣CD． 【变式1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD． 【答案】略 【解答】解：甲：截长法，如图1，在DB上截取DE＝DC，连AE， ∵DE＝DC，AD⊥BC， ∴AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠B＝∠BAE， ∴AE＝BE＝AC， ∴BD＝BE+DE＝AC+CD 【变式2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系． 【答案】∠C＞∠B 【解答】解：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1， 在△ADE与△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠AED＝∠C，ED＝CD， ∵AB＝AC+CD， ∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝AC+ED， ∴BE＝ED， ∴∠AED＝2∠B， ∴∠AEC＝2∠B， ∴∠C＞∠B； 【典例2】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】（1）AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN；（3）BN﹣AM＝MN 【解答】 （1）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN． 【变式2-1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，