专项10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用 △ABC中 , AD是BC边中线 方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 （1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN 倍长中线法原理： 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中）延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中） 【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　． A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL （2）求得AD的取值范围是 　 　． A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， ∵在△ADC和△MDB中 ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． 【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7 【答案】D 【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线， 延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE， ∵AD＝x， ∴AE＝2x， 在△BDE与△CDA中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝9， 在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE， 即5+9＞2x，9﹣5＜2x， ∴2＜x＜7， 故选：D． 【变式1-2】（2019秋•贵港期中）如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD． 求证：AB+AD＞2AE； 【解答】证明：（1）延长AE到M，使AE＝EM，连接DM， ∵AE为△ABD的中线， ∴BE＝DE， 在△AEB和△MED中 ∴△AEB≌△MED（SAS）， ∴AB＝DM， 在△AMD中，AD+DM＞AM， 即AB+AD＞2AE； 【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】解：（1）1＜AD＜5． ∵AD是B