专项14 等腰三角形分类讨论问题综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项14 等腰三角形分类讨论问题综合应用 类型一：腰和底不明时需讨论 类型二：顶角和底角不明时需讨论 类型三：涉及中线、高位置的讨论 类型四：等腰三角形个数的讨论 类型五：动点引起的分类讨论 【考点1 腰和底不明时需分类】 【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 【答案】B 【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去． ②若4是底，则腰是8，8． 4+8＞8，符合条件．成立． 故周长为：4+8+8＝20． 故选：B 【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 　 ． 【答案】14cm或16cm　 【解答】解：当4cm为腰时，三边为4cm、4cm、6cm，可以构成三角形， ∴周长为：4+4+6＝14（cm）； 当6cm为腰时，三边为为6cm、6cm、4cm，可以构成三角形， ∴周长为：6+6+4＝16（cm）； 综上，周长为14cm或16cm． 故答案为：14cm或16cm． 【考点2 顶角和底角不明时需讨论】 【典例2】等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（　　） A．50° B．50°或65° C．80° D．65° 【答案】B 【解答】解： 当底角为50°时，则底角为50°， 当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°， 所以底角为50°或65°， 故选：B． 【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°，则其底角是（　　） A．40° B．100° C．80° D．100°或40° 【答案】A 【解答】解：当100°为顶角时，其他两角都为40°、40°， 当100°为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于90°，故底角不能为100°， 所以等腰三角形的底角为40°、40°．故选A 【变式2-2】（2020秋•慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是（　　） A．20° B．50° C．60° D．80° 【答案】C 【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°，另外两个角的度数都为50°； 当100°的角是底角的外角时，两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°，顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°； 故∠A的度数不能取的是60°． 故选：C． 【考点3 涉及中线、高位置的讨论】 【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　） A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 【答案】D 【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣25°＝65°． 故选：D． 【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【解答】解：当高在三角形内部时，如图1， ∵∠ABD＝30°，BD⊥AC， ∴∠A＝60°； ∴顶角是60°； 当高在三角形外部时，如图2， ∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120° ∴顶角是120°． 故选：D． 【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为　 　． 【答案】75°或15° 【解答】解：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC， 如图（1），∠ABD＝60°， 则∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠C＝75°； 如图（2），∠ABD＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°． 故这个等腰三角形的底角是：75°或15°． 故答案为：75°或15°． 【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC各边的长． 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD＝AC， ∵AB＝AC， ∴AD＝CD＝AB， 设AD＝CD＝xcm，BC＝ycm， 分两种情况： 当时， 即， 解得：， ∴△ABC的各边长为8cm，8cm，11cm； 当时， 即， 解得：， ∴△ABC的各边长为10cm，10cm，7cm； 综上所述：△ABC各边的长为8cm，8cm，11cm或10cm