专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用 垂直平分线作图步骤： 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 垂直平分线的性质： 垂直平分线上的点到两边的距离相等 【典例1】（2021秋•邓州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F． （1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　 ； （2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况． 【解答】解：（1）等边三角形， 理由：∵AM＝AN，∠MAN＝120°， ∴∠M＝∠N＝30°， ∵BE是线段AM的垂直平分线， ∴AB＝BM， ∴∠MAB＝∠M＝30°， ∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°， 同理，CA＝NC， ∴∠NAC＝∠N＝30°， ∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）△ABC是等腰三角形， 理由：∵AM＝AN， ∴∠M＝∠N， ∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； （3）当∠M＝∠N时，AB＝AC； 当2∠M+∠N＝90°时，∠BAN＝90°， ∴CF∥BN， ∵CF垂直平分AN， ∴AF＝FN， ∴CN＝BC， ∴CA＝NB＝BC， 同理，当∠M+2∠N＝90°时，BA＝BC， 综上所述，当∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°时，△ABC是等腰三角形． ②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm． 【变式1-1】（秋•密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE． （1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形； （2）证明：l垂直平分AE． 【答案】略 【解答】解：（1）如图所示： （2）证明：解法一：如下图：连接AC，CE，ED，AD， ∵AC＝AD＝AB，CE