专题23.4 相似三角形的性质【九大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题23.4 相似三角形的性质【九大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 2 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 4 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】 6 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】 8 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 10 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 14 【题型7 尺规作图作相似三角形】 19 【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 23 【题型9 新定义中的相似三角形】 29 【知识点1 相似三角形的性质】 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵△ABC~△DEF， ∴∠A＝∠D＝50°， ∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例． 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（    ） A．32° B．48° C．64° D．86° 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°， ∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD， ∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（　　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出． 【详解】解：∵△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系． 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点、、、四点共线，是等边三角形，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，根据是等边三角形得出，根据外角的性质得出，可推出，从而即可得到答案. 【详解】 是等边三角形 故选A. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，是的中点，在上取一点，使∽，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的中点可求得，根据三角形相似的性质可得，可得的长即可求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， 又∵∽， ，即， 解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键． 【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件得到＝，即可得到EF＝2BC＝2，问题得解． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2， ∴＝， ∴EF＝2BC＝2． 故选：B 【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键． 【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知，△ ABC的三边长分别为，，3，△ DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为______． 【答案