第05讲 抛物线-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第5讲 高一学科素养能力竞赛抛物线专题训练 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：全国高中数学联赛试题精选 【典型例题】 模块一：易错试题精选 【例1】已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（       ） A．5 B． C．10 D．15 【例2】已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（       ） A． B． C．A，，三点共线 D． 【例3】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（       ） A． B． C．或 D．或 【例4】已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________ 【例5】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【例6】已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（       ） A． B．F为的中点 C． D． 【例7】已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【例8】（2022·广东江门·高二期末）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ） A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为 【例9】已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（       ） A． B． C． D． 【例10】经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______． 【例11】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（       ） A． B． C． D． 【例12】（多选题）过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（       ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2 【例13】已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【例14】在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（       ） A．当时，的最小值为3 B．当时，的最小值为4 C．当时，的最大值为1 D．当轴时，为定值 【例15】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________. 模块二：培优试题精选 【例1】已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A．     B．     C．     D．1 【例2】抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ） A． B． C．直线AQ与BQ的斜率之和为0 D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为 【例3】如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ） A． B． C． D． 【例5】已知点是抛物线：（）上的动点，若的最小值为1，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【例7】已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【例9】已知圆和焦