第06讲 与圆有关的计算（3大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

第06讲 与圆有关的计算（3大考点） ( 考点 考向 ) 一、正多边形的相关计算 1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决． 二、弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 三、与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR. ( 考点 精讲 ) 一．正多边形和圆（共5小题） 1．（2022•鄞州区一模）如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（　　） A．S1+S2＝2S3 B．S1+S4＝S3 C．S2+S4＝2S3 D．S1+S5＝S3 【分析】正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，由此即可判断． 【解答】解：正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5， 则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF， ∴S3＝S1+S4＝S2+S5， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2021秋•新昌县期末）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（　　） A． B． C．24 D． 【分析】根据正六边形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于C， 根据图形可知： ∠OCB＝90°，∠OBA＝30°，圆的半径OB＝4， ∴OC＝2， ∴BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， ∴图中阴影部分的周长＝6×4＝24． 故选：D． 【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正六边形的性质． 3．（2022•金东区三模）如图，正五边形ABCDE和正方形AFGH内接于圆O，连结EF交AH于点M，则∠AME的度数为 　126°　． 【分析】根据正五边形ABCDE和正方形AFGH内接于圆O求出∠AEF＝45°，∠HAE＝9°，再根据三角形内角和解答即可． 【解答】解：∵正方形AFGH内接于圆O， ∴∠AOF＝∠AOH＝90°， ∴∠AEF＝45°， ∵OA＝OH， ∴∠OAH＝45°， ∵正五边形ABCDE内接于圆O， ∴∠AOE＝72°， ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE＝54°， ∴∠HAE＝54°﹣45°＝9°， ∴∠AME＝180°﹣∠MEA﹣∠MAE＝126°， 故答案为：126°． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键． 4．（2022•金东区一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，当△ABC是直角三角形时，点C的个数为 　10　． 【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置． 【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置， 即，有6个直角三角形， AB是斜边时，点C共有4个位置， 即有4个直角三角形， 综上所述当△ABC是直角三角形时，点C的个数为10个． 故答案为：10． 【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 5．（2020秋•武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）若CE＝1，求四边形AECD的面积． 【分析】（1）欲证明AE＝DE，只要证明＝． （2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴＝， ∵E是的中点， ∴＝， ∴+＝+，即＝， ∴AE＝DE． （2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠