第04讲 圆与图形的旋转（10大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

第04讲 圆与图形的旋转（10大考点） ( 考点 考向 ) 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　 　　证明：连结OC、OD 　 　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 三、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 五、旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 要点： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 六、旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 七、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距