第五讲 函数的单调性与最值 专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五讲-函数的单调性与最值 知识点一、函数的单调性与证明 1、函数单调性的定义： 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上单调递增。（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上单调递减。（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数单调性的定义推广 （1） 单调递增或； （2）单调递减或. 3、函数的单调性的判断与证明方法和步骤： （1）方法： （ⅰ）作差法：构造与比较； （ⅱ）作商法：构造与比较，（需满足恒正或恒负） （2）定义法证明函数单调性步骤： ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等），如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 知识点二、单调性的判断 1、单调函数的加减（在公共定义域内）： 增函数增函数增函数 减函数减函数减函数 －增函数减函数 －减函数增函数 增函数－减函数增函数 减函数－增函数减函数 注意：增函数减函数不能判断 2、复合函数求单调性 （1）定义： 设,,当在的定义域中变化时，的值在的定义域内变化，因此变量与之间通过变量形成的一种函数关系，记为称为复合函数，其中称为自变量，为中间变量，为因变量(即函数) （2）复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 归纳：同增异减 知识点三、函数的最值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使