12 ”集合、函数与导数”强化训练（演练篇）-《中学生数理化》高考数学2022年9月刊

中学生数理化答藏零车月 “集合、函数与导数”强化训练参考答案 一、选择题 1.C2.C3.A4.D5.A6.D (1-)<(n∈N)放(1+3）)· 7.B8.A9.D10.D11.A12.A (1+)…(1+)<=. 13.C14.D15.B16.C17.A18.D 19.B20.C 37.(1)当a=1时，f(x)=ex-1 二、填空题 lnx,其定义域为(0，十o),f'(x)=e-1 21.{0}U[2,+∞)22.3；(-∞，-4] U[1,+∞)23.-/2 24.325.x-y ,1,由fx)=0可得x=是 x 27. 当x∈(o,是)时.f'(x)<0,f(x)单调 1=0 26.8 28.[-1,+0∞) 递减：当x∈（日，+∞）时，'(x)>0,f(x 29.y=() 30.[0,1) 31.(o) 单调递增。所以函数f(x)的单调递减区间 32.(0,2)33.(-∞，-3)U(0,3) 34.[1,/5]35.(-oo,-e2) 为(0)，单调递增区间为（合+∞）小 三、解答题 (2)由题可知f'(x)=e-a=ex一a 36.(1)因为函数y=f(x)在[1，+∞) 若a≤0，则f'(x)>0,所以f(x)在(0， 上单调递增，所以f'(x)=2x一a一(lnx+ 十∞)上单调递增，函数f(x)至多有一个零 1)≥0在[1，十c∞)上恒成立，则a十1≤2x 点，不合题意。 lnx在[1，十∞)上恒成立，即当x≥1时， a+1≤(2x-lnx)mim。 若a>0,由f'(x)=0,可得x=a 。当 令函数g(x)=2x一lnx,则g'(x)= ，所以当x∈[1，+∞)时，g'(x)>0, 21 x∈(0，。)时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当 g(x)在[1，+∞)上单调递增，所以当x≥1 x∈（侣，+∞）时f'(x)>0,f(x)单调递 时，g(x)in=g(1)=2,所以a十1≤2，即a≤ 增。所以函数f(x)在(0，）上单调递减，在 1,所以a的取值范围为∈（一∞，1]。 (2)由(1)可知，当a∈(-o∞，1]时，f(x) (仁，十∞)上单调递增。 =x2-a.x一xlnx在[1，十∞)上单调递增， 不妨取a=1,则f(x)=x2一x一xlnx在 所以fx)m=f(台)=-aln是。 [1,十∞)上单调递增，所以当x≥1时，f(x) ≥f(1)=0,即lnx≤x-1在[1，十∞)上恒 当-aln名≥0，即0<a≤e时，f(x) 成立。 ≥0，函数f(x)至多有一个零点，不合题意； 令x=1+n∈N,则1n(1+)≤ 当-alng<o,即a>e时.f(） ,所以1n(1+号)+1m(1+)+…十 -alng<0,又f()=1>0,所以3x,∈ +)≤号+安+…+安(aeN).所以 (信，）使得fx)=0. [(1+3)0+)…(1+)]≤3· 对于函数y=nx,x>,则y= 44 42 商考数学2如8幸普膏中学生最理化 lnx-1>0,函数y=n In'x 单调递增。 综上可得，函数f(x)在区间(0，)上有 由a>e,可得a>品e即e>a,所 且仅有两个零点。 39.(1)当a=2时，h(x)=lnx 以f(e-1)=e"-a2>a°-a2>0,故3x2∈ (C,e1）,使得f(x)=0。 +1,h'(x)=D 2(x-1) x(x+1)。当x>1时， h'(x)>0,所以h(x)在(1，+∞)上单调递 综上，实数a的取值范围为(c,十o∞)。 增，且h(1)=0,所以当x>1时，h(x)>0。 38.(1)f'(x)=a(cos x-xsin x). (2)设函数f(.x)=(x-1)F(x)=lnx 因为∈[0吾]，所以cos>sin≥0， x+12,则f'(x)=+2(1-a)x+1 a(x-1) x(x+1)2 又1>x≥0，所以1·cosx>xsin x,即 令g(x)=x2+2(1-a)x+1。 cosx-xsin x>0。 若a≤1，当x>0时，g(x)>0。 当a>0时，f'(x)>0,所以f(x)在区 若1<a≤2，则△=4a2-8a≤0，所以 间[0]上单调递增，故f(x)==f() g(x)≥0，所以当a≤2时，f'(x)≥0，f(x) 在(0，十∞)上单调递增，且f(1)=0,所以 ·吾×-1=信-1，解得a=2。 1 6 -1f(x)>0,可得F(x)>0。 当a<0时，f'(x)<0,所以f(x)在区 若a>2,则△=4a2-8a>0,此时g(x) 间[0，看]上单调递减，所以f(x)=f0) 有两个零点，设为t1,t2且t1<t2。因为t1十 t2=2(a-1)>0,tt2=1,所以0<t1<1 =一1，不合题意。 t2。当x∈(1，t2)时，g(x)<0,