第一章 3 勾股定理的应用-2022-2023学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

n2)2=m4+2m2n2+n4,b2+c2= (2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4- 2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4, 所以b2+c2=a2. 所以以a,b,c为边长的三角形一定为 直角三角形. 3　勾股定理的应用 1. C 2. 5 cm 3. 这个长方形桌面合格.因为602+ 322=4 624,682=4 624, 所以602+322=682. 所以这三条边构成的三角形是直角三 角形. 所以这个长方形桌面合格. 4. 过点C作CB⊥AD 于点B. 设旗杆的高度为x m,则AC=AD= x m. 因为CE=2 m, 所以易得AB=(x-2)m. 因为DE=8 m, 所以易得BC=8 m. 在 Rt△ABC 中,由 勾 股 定 理,得 AB2+BC2=AC2,即(x-2)2+82= x2,解得x=17. 所以旗杆的高度为17 m. 5. 10<a<14 [解析]当为直角三角 形时,易得斜边长为10 cm.所以钝角 三角形的最长边应大于10 cm,即a> 10.由三角形三边关系,得钝角三角形 的最长边小于两较短边长度之和 14 cm,即a<14.所以a的取值范围 是10<a<14. 6. 14.5 [解析]如图,设木棒AB 长 x 尺,则 BC 长 (x -4)尺.在 Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+ BC2=AB2,即102+(x-4)2=x2,解 得x=14.5.所以木棒长14.5尺. (第6题) (第7题) 7. 25 [解析]如图,在Rt△ABC 中, 一条直角边 BC(即枯木的高)长 20尺,另一条直角边AC 长5×3= 15(尺).由勾股定理,得AB2=BC2+ AC2=202+152=625(尺2).所以 AB=25尺.所以葛藤的最短长度是 25尺. 解决立体图形表面两点之间 最短距离问题的方法 在立体图形上求表面两点之间 的最短距离,就要将其转化为求平 面上两点之间的距离.在具体问题 中,关键是画出展开后的平面图形, 并标出所求距离的两点的位置,最 后利用勾股定理求解. 8. 能放进去.理由:构造一个如图所示 的长方体代表木箱,则AB=40 cm, BC=30 cm,CE =120 cm,连 接 AC,AE. 由图,易得△ABC,△AEC 为直角三 角形. 所以在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC2=AB2+BC2=2 500 cm2. 所以在Rt△AEC 中,由勾股定理,得 AE2=AC2+CE2=16 900 cm2. 所以AE=130 cm. 因为130>129, 所以这根长129 cm的木棒能放进长、 宽、高分别是120 cm、30 cm、40 cm的 长方体木箱中. (第8题) 9. 如图①,将长方体沿B1C1,C1C, CB 剪开并翻折,使面ABB1A1 和面 BCC1B1在同一个平面内,连接AE. 在Rt△AA1E 中,因为AA1=20 cm, A1E=10+5=15(cm), 所以由勾股定理,得AE2=AA21+ A1E2=202+152=625(cm2). 如图②,将长方体沿 B1C1,C1D1, D1A1剪开并翻折,使面ABB1A1 和 面A1B1C1D1 在同一个平面内,连 接AE. 在Rt△ABE 中,因为AB=10 cm, BE=20+5=25(cm), 所以由勾股定理,得AE2=AB2+ BE2=102+252=725(cm2). 如图③,将长方体沿 D1C1,C1B1, B1A1剪开并翻折,使面ADD1A1 和 面A1B1C1D1 在同一个平面内,连 接AE. 在Rt△AB1E 中,因为AB1=20+ 10=30(cm),B1E=5 cm, 所以由勾股定理,得AE2=AB21+ B1E2=302+52=925(cm2). 因为625<725<925, 所以当AE2=625 cm2,即AE=25 cm 符合题意. 所以蚂蚁需要爬行的最短路程是 25 cm. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 �