第一章 1 第2课时 勾股定理的证明与简单应用-2022-2023学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

所以当PA=PB 时,t的值为12.5. 第2课时 勾股定理的证明 与简单应用 1. B 2. 76 3. 如 图,假 设b>a,则c2+2× 1 2ab=a 2+b2+2×12ab ,整理,得 c2=a2+b2. [解析]这个图形的面 积可以有两种求法:一种求法为边长 为c的正方形的面积+直角边分别为 a,b的两个直角三角形的面积,另一 种求法为边长分别为a,b的两个正 方形的面积+直角边分别为a,b的 两个直角三角形的面积.根据两种求 法的面积相等,即可验证勾股定理. (第3题) 4. C [解析]因为(a+b)2=21,所以 a2+2ab+b2=21.因为大正方形的面 积为13,所以c2=13,即a2+b2=13. 所以2ab=21-13=8.所以小正方形 的面积为(a-b)2=a2+b2-2ab= 13-8=5. 5. B [解析]如图,设小正方形的边 长为x.因为a=3,b=4,所以AB= 3+4=7.在Rt△ABC 中,由勾股定 理,得 AC2+BC2=AB2,即(3+ x)2+(x+4)2=72,整理,得x2+ 7x-12=0,即x2+7x=12.所以该 长方形的面积=(x+3)(x+4)= x2+7x+12=24. (第5题) 6. 27 [解析]在图①中,根据题意, 得a2+b2=15,(b-a)2=3.在图② 中,根据题意,得大正方形的面积为 (a+b)2.因为(b-a)2=3,所以a2- 2ab+b2=3,即15-2ab=3.所以 2ab=12.所以(a+b)2=a2+2ab+ b2=15+12=27. 弦图计算问题的解题策略 解决此类题有两种解题策略: 一是利用面积相等列出等式;二是 利用勾股定理及完全平方公式进行 变形.特别是要具有整体思想,会整 体变换,整体代值. 7. 在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB2=BC2 -AC2 =172 -82 = 225(m2). 所以AB=15 m. 在 Rt△ACD 中,由 勾 股 定 理,得 AD2=CD2-AC2=102-82=36(m2). 所以AD=6 m. 所以 BD=AB-AD=15-6= 9(m),即这艘船向岸边移动了9 m. 8. 如图①,连接DB,过点D 作DF⊥ BC,交BC 的延长线于点F,则易得 DF=EC=b-a. 因为S四边形ADCB =S△ACD +S△ABC = 1 2b 2+12ab ,且S四边形ADCB=S△ADB+ S△DCB= 1 2c 2+12a (b-a), 所以1 2b 2+12ab= 1 2c 2+12a (b- a),整理,得a2+b2=c2. 如图②,连接BD,过点B 作BF⊥ DE,交DE 的延长线于点F,则易得 BF=b-a. 因为S四边形ABED =S△ABE +S△ADE = 1 2b 2+12ab ,且S四边形ABED=S△ABD+ S△BDE= 1 2c 2+12a (b-a), 所以1 2b 2+12ab= 1 2c 2+12a (b- a),整理,得a2+b2=c2. (第8题) 9. 不能通过此桥洞.如图,OA 是桥洞 上面半圆的半径,可知OA=502= 25(dm),EF 的长为隔离带宽的一半, 即EF= 42 =2 (dm),易知 OC= EF=2 dm.ED 表示车宽,则易得 CB=ED=18 dm. 所以OB=OC+CB=20 dm, 在 Rt△OAB 中,由 勾 股 定 理,得 AB2=OA2-OB2=252-202= 225(dm2). 所以AB=15 dm. 所以 AD=AB+BD=15+18= 33(dm). 因为33<35, 所以这辆货车不能通过此桥洞. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 第2课时 勾股定理的证