第一章 1 第1课时 勾股定理-2022-2023学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时 勾股定理 1. 100 2. (1) 20 (2) 11 3. (1) 在Rt△ABC 中,由勾股定理, 得AC2=AB2-BC2=102-62= 64(cm2). 所以AC=8 cm. (2) S△ABC= 1 2AC ·BC=12×8× 6=24(cm2). (3) 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式,得 1 2AB ·CD=12AC ·BC. 所 以 CD = AC ·BC AB = 8×6 10 = 24 5 (cm). 4. D [解析]分两种情况:① 当x为 其中一条直角边长时,易得62+x2= 82.所以x2=28,即以x 为边长的正 方形的面积为28;② 当x 为斜边长 时,易得62+82=x2.所以x2=100, 即以x 为边长的正方形的面积为 100.综上所述,以x 为边长的正方形 的面积为28或100. 5. A [解析]设斜边长为x,则它的 一直角边长为x-3.由勾股定理,得 92+(x-3)2=x2,解得x=15. 6. 8 [解析]如图,根据题意,得 S正方形A+S正方形B=S正方形E,S正方形D- S正方形C =S正方形E.所 以 S正方形A + S正方形B=S正方形D-S正方形C.因为正方 形A,C,D的面积依次为4,6,18,所以 S正方形B+4=18-6.所以S正方形B=8. (第6题) 7. 25n+50 [解析]因为AC∶BC= 4∶3,所以可设AC=4x,BC=3x.在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得AB2= AC2+BC2=(4x)2+(3x)2=25x2. 所以AB=5x.因为△ABC 的周长为 12,所以3x+4x+5x=12,解得x= 1.所以AB=5,BC=3,AC=4.所以 图①中正方形的面积和为32+42+ 52=25+25=2×25=50,图②中所有 正方形的面积和,即1次操作后的图 形中所有正方形的面积和为32+ 42+32+42+52=25+25+25=25+ 50,图③中所有正方形的面积和,即2 次操作后的图形中所有正方形的面积 和为32+42+32+42+32+42+52= 25+25+25+25=2×25+50……所 以n次操作后的图形中所有正方形 的面积之和为25n+50. 8. 因为AB=AC, 所以△ABC是等腰三角形. 因为AD 是底边BC上的中线, 所以AD 是底边BC上的高. 所以∠ADB=∠ADC=90°. 所以在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 BD2=AB2-AD2=576. 所以BD=24. 所以CD=BD=24. 所以△ABC 的周长为26+26+24+ 24=100,面积为12× (24+24)× 10=240. 9. 如图,取BC 的中点D,连接AD, 则易得BD=CD=12BC=4 cm. 因为△ABC为等腰三角形, 所以AB=AC. 所以AD 是边BC上的高. 所以∠ADB=∠ADC=90°. 在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD2=AB2 -BD2 =52 -42 = 9(cm2). 所以AD=3 cm. 设点P 运动了t s. 分两种情况:① 如图①,当 PA⊥ AC时, 因为 AP2=PD2+AD2=PC2- AC2=(PD+4)2-AC2, 所以PD=2.25 cm. 所以BP=BD-PD=4-2.25= 1.75(cm). 所以1.75=0.25t,解得t=7. ② 如图②,当PA⊥AB 时,同理可得 PD=2.25 cm. 所以BP=BD+PD=4+2.25= 6.25(cm). 所以6.25=0.25t,解得t=25. 综上所述,当点P 运动7 s或25 s时, 点P 与顶点A 的连线PA 与等腰三 角形ABC的腰垂直. (第9题) 10. (1) 12. [解析]在 Rt△ABC 中,因为∠ACB=90°,AB=20 cm, AC=16 cm,所 以 BC2=AB2 - AC2=202-162=144(cm2).所以 BC=12 cm. (2) 根据题意,得PA=PB=t cm,则 PC=(16-t)cm. 因为∠PCB=90°, 所以在Rt△PCB 中,由勾股定理,得 PC2+BC2=PB2,即(16-t)2+ 122=t2,解得t=12.5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈