3.2均值不等式 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教B版必修5

高二数学上册必修五（人教B版） 均值不等式 东营市第二中学 胥祥杰 惜时 勤奋 敬师 均值不等式 【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解均值不等 式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 【教学重点】 应用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索均值 不等式的证过程。 【教学难点】理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。 新课导入 均值不等式的几何背景. ICM2002会标 如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会标．会标根据中国三国时期吴国的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 探究 实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案. 赵爽弦图 从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗？ a b 问1：正方形ABCD面积为S=———— 问2：四个全等直角三角形的面积的和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，s > s’,即 问题4:S, S’有相等的情况吗？何时相等？ 探究 a b 形的角度 图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 数的角度 当a=b时a2+b2－2ab=(a－b)2=0 探究 问题5：当 a,b为任意实数时， 都成立吗？ 思考： （1）该结论成立的条件是什么 ？ （2）公式中等号成立的条件是什么？ 思考： 探究 重要不等式 猜测： 能否利用不等式的性质，证明这个不等式呢？ 思考： 探究 如左图示：圆O内有内接∆ABD，AB为直径，DC垂直于AB，其中AC= a, BC=b,则 （1）圆半径OA是多少？ （2）半弦长CD为多少？ （3）OA与CD关系如何？ a b 根据圆的性质，我们知道： 半径不小于半弦 从而得到： 探究 A B D C E O 算术平均数 几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 均值不等式 新课 几何平均数 算术平均数 （1）如果ab