2.3.3点到直线的距离公式-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 2.3.3 点到直线的 距离公式 问题引入 l 问题1：如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足(如图).因此，求出垂足的坐标，利用两点间的距离公式求出，就可以得到点到直线的距离. 新知探索 设，.由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为，即. 解方程组 ① 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为. 于是 新知探索 因此，点到直线的距离 可以验证，当，或时，上述公式仍然成立. 新知探索 思考1：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？ 在上述方法中，若设垂足的坐标为，则 ② 对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出，进而求出 呢？请你试一试！ 新知探索 问题2：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？ 如图，点到直线的距离，就是向量的模.设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，. 思考2：如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？ 新知探索 设，是直线上的任意两点，则 是直线的方向向量. 把，两式相减，得.由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直. 向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量. 我们取，从而 . 新知探索 因为点在直线上，所以.所以代入上式，得. 因此. 思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离.通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算.除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？ 新知探索 辨析1.判断正误. (1)点到与轴平行的直线的距离.（ ） (2)点到与轴平行的直线的距离.（ ） 辨析2.原点到直线的距离为( ). A.1 B. C. D. 答案：D. 答案：×，√. 例析 例5.求点到直线的距离. 直线有什么特性？由此你能给