专题33 指数函数的性质及其应用-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题33 指数函数的性质及其应用 1．指数函数值与1的大小关系 (1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1. (2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1. 2．对称关系 函数y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称． 3．图象位置关系 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小； 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． 4．函数图象的对称和变换规律 一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)． 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象． 5．与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au， u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f[g(x)] 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f[g(x)]的单调性． 题型一 指数函数的图象变换 1．利用函数f(x)＝x的图象，作出下列各函数的图象： (1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)． [解析]作出f(x)＝x的图象，如图所示： (1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x－1)的图象