专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道） 【人教版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！ 一．解答题（共50小题） 1．（2022秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形． 【详解】证明：∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝∠EFC＝90°． ∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠D． ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠D＝∠CEF． ∴∠A＝∠C． ∴△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键． 2．（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数． 【分析】分别求出∠ABC，∠ABD，可得结论． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）＝65°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2022秋•林州市期末）已知△ABC的两边长a和b满足（b﹣4）2＝0． （1）若第三边长为c，求c的取值范围． （2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长． 【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围； （2）分腰长为9或4两种情况进行计算； 【详解】解：（1）∵（b﹣4）2＝0， ∴a﹣9＝0，b﹣4＝0， 解得a＝9，b＝4， ∵9﹣4＜c＜9+4， 即5＜c＜13； （2）当腰长为9时， 此时三角形的三边为9、9、4，满足三角形三边关系，周长为22； 当腰长为4时， 此时三角形的三边长为4、4、9，4+4＜9，不满足三角形三边关系． 综上可知，△ABC的周长为22． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键． 4．（2022秋•河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO． （1）求证：AC＝BC； （2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长． 【分析】（1）由题意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC＝BC； （2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的长． 【详解】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO， ∴∠CAO＝∠CBD． 在△ACD和△BCD中， ∴△ACD≌△BCD（AAS）． ∴AC＝BC； （2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO， ∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示： ∵∠ACD＝∠BCD， ∴DO＝DN， 在Rt△BDO和Rt△EDN中， ∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL）， ∴BO＝EN． 在△DOC和△DNC中， ∴△DOC≌△DNC（AAS）， 可知：OC＝NC； ∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键． 5．（2022秋•武冈市期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点． （1）求证：EO＝BE； （2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB． 【分析】（1）利用平行线以及角平分线的定义证明∠EOB＝∠EBO即可． （2）想办法证明∠OCF＝∠OCB即可． 【详解】证明：（1）∵EF∥BC，交AB、AC于E、F． ∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO， ∵∠B的平分线交EF于O点， ∴∠EBO＝∠CBO， ∴∠EBO＝∠BOE， ∴EO＝BE． （2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF， ∴OE+OF＝BE+CF， ∵EO＝BE， ∴OF