圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法 一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 二、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 三、点差法在圆锥曲线中的结论 题型一 中点弦所在直线的斜率与方程 【例1】已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】已知椭圆的弦被点平分， 设这条弦的两个端点分别为、， 则，得， 由于点、均在椭圆上，则， 两式相减得，可得， 即， 所以直线的斜率为， 因此，这条弦所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式1-1】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，整理可得． 设，，则， 两式相减可得． 因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以， 则直线的斜率．故选：C 【变式1-2】已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设交点坐标分别为，，，， 则，，， 两式相减可得， 即，所以， 即直线的斜率为；故选：A． 【变式1-3】过点的直线交抛物线于两点，当点恰好为的中点时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，所以， 两式相减得，， 因为点为的中点，所以， 所以，故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，所以，， 故斜率为符合题意，因此直线的方程为，故选：D. 【变式1-4】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，的中点， 则，. 因为，两点在椭圆上，所以，. 两式相减得：， ， ，， 即，解得.故选：B 【变式1-5】椭圆离心率为，直线与椭圆交于，两点，且中点为，为原点，则直线的斜率是_______． 【答案】 【解析】因为椭圆离心率为， 所以，所以 设，，所以，， 因为，在椭圆上，所以，两式作差得， 即，即， 即，所以，故答案为： 【变式1-6】已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，所以不妨设为. 设，，，，，，， 两式作差得， 则，， 同理可得， 所以，故选：． 题型二 求圆锥曲线的方程问题 【例2】过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则 的中点，所以， 又，所以， 即， 而，， 所以，又， 所以，所以 椭圆方程为：.故选：A. 【变式2-1】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程 . 【答案】 【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，， 设、则有：，， 两式作差得：， 又的斜率是， ∴，代入得，，，∴双曲线标准方程是. 【变式2-2】已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 故双曲线方程为，焦点为； 设椭圆方程为， 则椭圆焦点为焦点为，故， 设，则， 两式相减得，整理得， 即，解得，故， 椭圆方程为.故选：D. 【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程； 【答案】 【解析】设，， ，两式相减并化简得，， 所以抛物线方程为. 【变式2-4】设