1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及其应用（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　空间直角坐标系及其应用 1．已知O(0，0，0)，N(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，则点B的坐标为(　　) A．(－1，3，－3) B．(9，1，1) C．(1，－3，3) D．(－9，－1，－1) 解析　因为＝，＝－，所以＝＋＝(5，－1，2)＋(4，2，－1)＝(9，1，1)． 答案　B 2．已知空间向量A(1，－2，2)，B(－2，1，2)，C(－1，－1，0)，则等于(　　) A．3 B． C． D． 解析　2－＝(－4，5，2)，所以＝3． 答案　A 3．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　设与的夹角为θ．由题意，得＝(－1，1，0)，＝(0，3，3)， ∴cos θ＝＝＝． 又0≤θ≤180°，∴θ＝60°． 答案　C 4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析　因为A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，所以＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，可得＝－3，所以∥． 答案　B 5．已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　法一　设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2．当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为． 法二　设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ≠0， 因为λ∶λ∶2λ＝1∶1∶2，观察选项只有C符合． 答案　C 6．如图，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则的坐标为________． 解析　因为的坐标为(4，3，2)，D(0，0，0)， 则B1(4，3，2)，所以B(4，3，0)，D1(0，0，2)， 因此＝(－4，－3，2)． 答案　(－4，－3，2) 7．已知空间三点的坐标为A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝________． 解析　由题意可得＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋4)，∵A，B，C三点共线，则∥，则存在实数k，使得解得因此，p＋q＝5． 答案　5 8．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： (1)向量a，b，c的坐标； (2)a＋c与b＋c夹角的余弦值． 解　(1)∵a∥b，∴存在λ，使得b＝λa，即(－2，y，－1)＝λ(x，4，1)＝(λx，4λ，λ)， 则解得又b⊥c， ∴b·c＝－2×3－2y－z＝0，可得z＝2， 所以a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，c＝(3，－2，2)． (2)可得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)， 设a＋c与b＋c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－． 9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3＝， 所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以点P的坐标为． 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0， 解得b＝，所以点Q的坐标为． 因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4． 10．已知点A(－1，2，0)，B(－3，4，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为(　　) A．(－2，3，1) B．(－2，3，1)或(2，－3，－1) C．(0，1，－1) D．(－2，3，1)或(0，1，－1) 解析　设P(x，y，z)，∵＝(x＋1，y－2，z)，＝(－2，2，2)，又∵||＝||， ∴＝或＝－． 当＝时，(x＋1，y－2，z)＝(－2，2，2)， ∴解得 ∴点P(－2，3，1)； 当＝－时，(x＋1，y－2，z)＝－(－2，2，2)， ∴解得 ∴点P(0，1，－1)． 答案　D 11．如图