1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　空间向量的坐标及运算 1．已知向量a＝(1，－2，3)，b＝(2，－1，－4)，则a·b＝(　　) A．－8 B．－7 C．－6 D．－5 解析　由已知可得a·b＝1×2－2×(－1)＋3×(－4)＝－8． 答案　A 2．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析　由a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)， 则λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)， 所以＝＝，且λ＞0． 整理可得λ2－λ－6＝0，解得λ＝3(λ＝－2舍)． 答案　C 3．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(2，1，－1)，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　向量a＝(1，2，1)，b＝(2，1，－1)，则＝，＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，则θ＝60°，故选C． 答案　C 4．(2022·武汉高二期末)(多选)已知向量a＝(1，－1，m)，b＝(－2，m－1，2)，则下列结论中正确的是(　　) A．若|a|＝2，则m＝± B．若a⊥b，则m＝－1 C．不存在实数λ，使得a＝λb D．若a·b＝－1，则a＋b＝(－1，－2，－2) 解析　对于A中，由|a|＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；对于B中，由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；对于C中，若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确； 对于D中，若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝(－1，－2，2)，故D选项错误． 答案　AC 5．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(3，－6，3)，且a⊥c，b∥c，则＝(　　) A． B．3 C．4 D．2 解析　因为a⊥c，所以3x－6＋3＝0，解得x＝1，所以a＝(1，1，1)．因为b∥c，所以＝＝，解得y＝－2，所以b＝(1，－2，1)，所以a＋b＝(2，－1，2)，所以＝＝3． 答案　B 6．设向量a＝(1，3，4)，b＝(2，5，1)，则·＝________． 解析　·＝(－1，－2，3)·(3，8，5)＝－3－16＋15＝－4． 答案　－4 7．空间向量a＝(2，3，－2)，b＝(2，－m，－1)，如果a⊥b，那么＝________． 解析　∵向量a＝(2，3，－2)，b＝(2，－m，－1)，且a⊥b， ∴a·b＝0，∴2×2－3m＋2＝0，解得m＝2，∴b＝(2，－2，－1)，∴＝＝3． 答案　3 8．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)． (1)计算2a－3b和； (2)求〈a，b〉． 解　(1)2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)＝(1，－5，8)，＝＝3． (2)cos〈a，b〉＝＝＝，∵0≤〈a，b〉≤π，因此，〈a，b〉＝． 9．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)． (1)若(a＋kb)∥(2a＋b)，求实数k； (2)若向量a＋kb与2a＋b所成角为锐角，求实数k的取值范围． 解　(1)由已知可得，a＋kb＝(1－k，1，2k)， 2a＋b＝(1，2，2)，因为(a＋kb)∥(2a＋b)， 所以＝＝，可得k＝． (2)由(1)知，a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2)， 因为向量a＋kb与2a＋b所成角为锐角， 所以(a＋kb)·(2a＋b)＝(1－k，1，2k)·(1，2，2)＝1－k＋2＋4k＞0，解得k＞－1．又当k＝时，(a＋kb)∥(2a＋b)，可得实数k的取值范围为． 10．已知向量a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　) A． B． C．4 D．8 解析　依题意得|a|＝|b|＝3，则cos〈a，b〉＝＝，所以sin〈a，b〉＝，则平行四边形的面积S＝|a|·|b|sin〈a，b〉＝． 答案　B 11．已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0， 即3t－＜0，所以t＜． 若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)， 即(5，3，1)＝λ，所以 所以t＝－， 故t的取值范围是∪． 答案　∪ 12．已知空间向量a＝(1，0，0)，b＝，若空间向量c满足c·a＝2，c·b＝，且对任意x，y∈R，|c－(xa＋yb)|≥|c－(x0a＋y0b)|＝1(x0，y0∈R)，则|c|＝________． 解析　∵空间向量a＝(1，0，0)，b＝，设空间向量