1.1.2 空间向量基本定理（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.1.2　空间向量基本定理 1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析　∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b与a，b共面． 答案　A 2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析　因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥．又与有公共点A，所以A，B，D三点共线． 答案　A 3．(多选)若向量，，的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量，，成为空间一组基底的关系的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 解析　对于A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，，，共面．对于B，D，易知，，共面，故只有C中，，不共面，只要，，共面，就不能作为一组基底，故选ABD． 答案　ABD 4．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，， B．，－， C．－，，－ D．－，－， 解析　如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D． 答案　D 5．在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若＝＋＋，则使G与M，N共线的x的值为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　＝，＝， 假设G，M，N三点共线，则存在实数λ使得 ＝λ＋(1－λ)＝(＋)＋＝＋＋＝＋＋， 得解得x＝1，λ＝． 答案　A 6．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________． 解析　由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0． 答案　x＝y＝z＝0 7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 解析　如图，＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋＋． 由条件知x＝1，y＝，z＝． ∴x＋y＋z＝1＋＋＝2． 答案　2 8．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．求证：向量，，共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋． 同理＝＋． 所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋． 又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面． 9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E为CC1上的点，且CE＝1，求与夹角的余弦值． 解　令＝a，＝b，＝c， ∴|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝0， ∴{a，b，c}能作为一组基底． ∵＝a＋c，＝＋＝b＋c， ∴·＝(a＋c)·＝a·b＋a·c＋b·c＋c2＝3． 又||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝． 10．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析　如图所示，设＝a，＝b，＝c， ∵·＝(a－b)·(c－b)＝a·c－b·c－a·b＋b2＝b2＞0． 同理·＞0，·＞0． ∴∠CBD，∠BCD，∠BDC均为锐角． 答案　B 11．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 解析　∵＝＋＋， ∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，∴| |＝12． 答案　C 12．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则 (1)·＝________；cos〈，〉＝________； (2)·＝________． 解析　(1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1， ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴||＝， ||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝， ∴cos〈，〉＝＝． (2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1． 答案　(1)1　　(2)1 13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点． (1)求的长； (2)求