1.1.1 第2课时 空间向量的数量积（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 [对应素能提升训练第3页] 1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析　因为B′D′∥BD，所以A′B，B′D′的夹角即为A′B，BD的夹角．因为△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°．由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°． 答案　D 2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　) A．14 B． C．4 D．2 解析　由|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，得|a－2b＋3c|＝． 答案　B 3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－2 C．－4 D．1 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0． 由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4． 答案　C 4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则·的值为(　　) A．5 B．25 C．25 D．5 解析　法一　＝，∴〈，〉＝〈，〉＝∠AC1C． 又Rt△ACC1中，AC＝＝5，CC1＝5， ∴AC1＝＝5，∠AC1C＝45°， ∴·＝||·||·cos∠AC1C＝5×5×＝25． 法二　在上的投影为， ∴·＝·＝||·||＝25． 答案　B 5．(多选)(2022·潍坊高二期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．四边形ABC1D1的面积为|||| B．与的夹角为60° C．(＋＋)2＝3()2 D．·(－)＝0 解析　如图，由AB⊥面BB1C1C得AB⊥BC1，所以四边形ABC1D1的面积为，故A正确； ∵△ACD1是等边三角形， ∴∠AD1C＝60°． 又∵A1B∥D1C， 所以向量与的夹角为120°，故B错误； 由向量加法的运算法则可以得到＋＋＝，∵2＝32， ∴(＋＋)2＝3，故C正确； 向量运算可得－＝， ∵在正方体ABCD－A1B1C1D中，D1B1⊥面AA1C1C， ∴D1B1⊥A1C，∴·＝0，故D正确． 答案　ACD 6．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________． 解析　∵cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝． 答案　 7．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 解析　∵||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴||＝，∴EF的长为． 答案　 8．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心．求： (1)·； (2)·； (3)·． 解　(1) 如图所示，||＝a， 在上的投影为， ∵||＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2． (2)取AB的中点E，∴O1E⊥AB， ∴在上的投影为． 又||＝a，||＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2． (3)∵〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a， ∴·＝||||cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2． 9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求向量，夹角的余弦值． 解　∵＝＋＝＋，＝－， 且·＝·＝·＝0， ∴·＝－＝－1． 又||＝，||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝－， 所以向量，夹角的余弦值为－． 10．如图所示，正四面体OABC，棱长为1，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE的长度为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 解析　＝＋＝＋＝＋＝， ＝＋＝＋＝＋ ＝＝ ＝， 由题意可知，＝＝＝1， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝， 由空间向量数量积的定义可得 ·＝·＝·＝12×cos ＝， 所以，2＝＝(42＋2＋2＋4·＋2·＋4·)＝，因此，＝． 答案　B 11．在四面体ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD＝4，若∠ABD与∠ABC互余，则·(＋)的最大值为(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 解析　设∠ABD＝α，可得∠ABC＝－α，则α为锐角，在四面体ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD＝4， 则·＝·＋·＝·cos＋·cos α＝18sin α＋24cos α＝30sin(α＋φ)，其中φ 为锐角，且tan φ＝． ∵0＜α＜，则φ＜α＋φ＜＋φ， 所以，当α＋φ＝时，·取得最大值30． 答案　B 12．如图，在四棱锥S－ABCD中，底