1.2.4 二面角（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.4　二面角 1．(2022·浙江高二期末)如图，三棱台ABC－A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A－BB1－C的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　三棱台ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1．又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为A－BB1－C的二面角．因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°． 答案　C 2．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作平面α，使正方形ABCD，正方形ABB1A1，正方形ADD1A1所在平面与平面α所成锐二面角相等，则这样的平面α可以作(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥A－A1BD是正三棱锥，则平面ABD，平面ABA1，平面ADA1与平面A1BD所成锐二面角相等；过顶点A作平面α与平面A1BD平行，则平面ABD，平面ABA1，平面ADA1与平面α所成锐二面角相等；同理，过顶点A作平面α与平面C1BD，平面DA1C1，平面BA1C1平行，则正方形ABCD，正方形ABB1A1，正方形ADD1A1所在平面与平面α所成锐二面角相等，所以这样的平面α可以作4个． 答案　D 3．(2022·天津高二期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1，E，F分别为棱AD，BC的中点，所以EF∥AB，所以EF⊥平面B1BCC1，所以EF⊥FC1，EF⊥FC，所以∠CFC1就是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，cos∠CFC1＝＝＝． 答案　B 4．如图，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　　) A． B． C． D． 解析　设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′， 则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝． 答案　D 5．(多选)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则下列结论正确的是(　　) A．PA⊥BD B．PB与平面ABCD所成的角为 C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D．二面角A－PB－C的余弦值为 解析　设PD＝AD＝1，则AB＝2，对于选项A：在△ABD中，由余弦定理可得： BD2＝AD2＋AB2－2AD×AB×cos∠DAB＝1＋4－2×1×2×＝3，所以BD＝， 所以AB2＝AD2＋BD2，所以BD⊥AD．因为PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD， 所以BD⊥PD．因为PD∩AD＝D，所以BD⊥面PAD．因为PA⊂面PAD，所以PA⊥BD，故选项A正确； 对于选项B：因为PD⊥底面ABCD，所以∠PBD即为PB与平面ABCD所成的角． 在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝＝，所以∠PBD＝，故选项B不正确； 对于选项C：因为ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，所以∠PCD为异面直线AB与PC所成角．在Rt△PCD中，PD＝1，CD＝2，所以PC＝＝， 所以cos∠PCD＝＝＝，故选项C正确； 对于选项D：如图建立空间直角坐标系：则A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(0，，0)， C(－1，，0)， 可得＝(1，0，－1)， ＝(0，，－1)， ＝(－1，，－1)． 设平面APB的一个法向量m＝(x1，y1，z1)， 由 令x1＝，则z1＝，y1＝1，所以m＝(，1，)． 设平面CPB的一个法向量n＝(x2，y2，z2)， 由所以x2＝0，令z2＝，y2＝1，所以n＝(0，1，)， 所以cos〈m，n〉＝＝ ＝＝． 由图知二面角A－PB－C的平面角为钝角， 所以二面角A－PB－C的余弦值为－，故选项D不正确，故选AC． 答案　AC 6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，则二面角A－PC－B的正弦值为________． 解析　依据题意建立如图所示的空间直角坐标系： A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，，0)，设平面APC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， ∴ 不妨设y1＝1，则x1＝－， n1＝(－，1，0)． 设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， ∴不妨设x2＝1，则z2＝1，y2＝0