1.2.2 第2课时 面面位置关系、三垂线定理及其逆定理（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 1．设平面α的一个法向量为m＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　) A．－5 B．－4 C．－2 D．4 解析　因为α∥β，所以n∥m，则＝＝，解得k＝4． 答案　D 2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C． D．－ 解析　∵α⊥β，∴平面α，β的法向量相互垂直，∴a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝－x－2－8＝0，∴x＝－10． 答案　B 3．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4，2，－2) B．(2，0，4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2) 解析　两个平面平行，其法向量也平行，所以选D． 答案　D 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则(　　) A．平面AED∥平面A1FD1 B．平面AED⊥平面A1FD1 C．平面AED与平面A1FD1相交但不垂直 D．以上都不对 解析　以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图： 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 则A(1，0，0)，D(0，0，0)，E，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F，则＝(1，0，0)，＝，＝(1，0，0)，＝． 设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则所以 所以所以x1＝0， 取y1＝1，则z1＝－2，所以n1＝(0，1，－2)， 同理可得n2＝(0，2，1)． 因为n1·n2＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0＋2－2＝0， 所以n1⊥n2，故平面AED⊥平面A1FD1． 答案　B 5．(多选)给出下列命题，其中正确的有(　　) A．直线l的方向向量为v＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为a＝，则l与m垂直 B．直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l∥α C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β D．平面α经过三点A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u－t＝0 解析　对A，∵v·a＝1×2＋(－1)×1＋2×＝0，∴v⊥a，即l与m垂直，故A正确； 对B，∵a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a⊥n，则l∥α或l⊂α，故B错误； 对C，∵不存在实数λ，使得n1＝λn2，故n1与n2不共线，则α∥β不成立，故C错误； 对D，可得＝(－2，1，0)，＝(0，－1，1)， 则即解得u＝2，t＝2，即u－t＝0，故D正确． 答案　AD 6．设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2，4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 解析　因为a∥b，再根据平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2，4，－8)垂直，所以平面α与β平行． 答案　平行 7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是________． 解析　∵α⊥β，∴μ⊥v，∴μ·v＝0，∴3×(－2)＋(－1)×(－y)＋z×1＝0，∴－6＋y＋z＝0，∴y＋z＝6． 答案　6 8．在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2． 求证：平面EFG⊥平面PBC． 证明　建立如图所示空间直角坐标系， 则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)． 所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面EFG的一个法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥． 所以令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即平面EFG的一个法向量是n＝(0，1，－1)． 显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，所以n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直， 所以平面EFG⊥平面PBC． 9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中点． 求证：AB1⊥A1M． 证明　连接AC1，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1， ∴A1C1＝AC＝， ∴＝＝，＝＝， ∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C＝∠MA1C1， ∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°， ∴A1M⊥AC1．