1.2.2 第1课时 平面的法向量及线面位置关系（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　平面的法向量及线面位置关系 1．(多选)已知向量＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A． B． C． D． 解析　设平面ABC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则若y＝λ∈R，则m＝λ．∴由单位法向量有＝1，可得λ＝±，故单位法向量为，． 答案　AB 2．若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析　由a＝(－1，0，－2)，u＝(4，0，8)，则u＝－4a，所以u∥a，则l⊥α． 答案　B 3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1，1) B． C． D． 解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A，＝(1，0，1)，则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，D． 答案　B 4．(多选)直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若l⊄α，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) B．a＝(1，0，1)，n＝(0，－2，0) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 解析　已知l⊄α，l∥α，则a·n＝0．A选项中，a·n＝1×1＋3×0＋5×1＝6≠0，A选项不满足条件；B选项中，a·n＝1×0＋0×(－2)＋1×0＝0，B选项满足条件；C选项中，a·n＝0×(－1)＋2×0＋1×1＝1≠0，C选项不满足条件；D选项中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋1×3＝0，D选项满足条件． 答案　BD 5．已知a为平面α的法向量，A，B是直线b上的两点，则a·＝0是直线b∥α的________条件(　　) A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 解析　因为向量a是平面α的法向量，则a⊥α，若a·＝0，则∥α，则向量所在直线b平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量所在直线平行于平面α或在平面α内，则∥α，∵向量a是平面α的法向量，∴a⊥α，则a⊥，即a·＝0，即必要性成立，则a·＝0是向量所在直线b平行于平面α的必要条件，故选A． 答案　A 6．已知m＝(1，2，－1)为平面α的一个法向量，n＝(－2，t，1)为直线l的一个方向向量，若l∥α，则t＝________． 解析　∵l∥α，∴m⊥n，∴m·n＝1×(－2)＋2t＋(－1)×1＝0，解得t＝． 答案　 7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________． 解析　以D点为原点，DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)． ∴＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)， ＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)， 由此可得·＝(，1，－)·(－，2，0) ＝－×＋1×2＋×0＝0， 即⊥，可得AM⊥PM． 答案　AM⊥PM 8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的一个法向量； (2)求平面A1BC的一个法向量． 解　易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)． (1)＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，设平面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则 即取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝(1，1，0)， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)． (2)＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则 即取x2＝y2＝2，z2＝1，则m＝(2，2，1)， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1)． 9．(2022·大连高二期中)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1＝BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证： (1)A1B1⊥平面AA1C； (2)AB1∥平面A1C1C． 证明　因为二面角A1－AB－C是直二面角， 四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面BAC． 又因为AB＝AC，BC＝AB，所以∠CAB＝90°， 即CA⊥AB，所以AB，AC