1.2.4 二面角（课件PPT）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第一章　空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.4　二面角 第一章　空间向量与立体几何 [学习任务] 1．理解二面角和二面角的平面角的概念． 2．会用几何法和向量法求二面角的大小． 第一章　空间向量与立体几何 自主学习探新知 知识点一　二面角及其度量 1．二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的______________所组成的图形称为二面角．如图(1)所示，其中，直线l叫做二面角的______，两个半平面叫做二面角的______，如图中的α，β． 两个半平面　 图(1) 棱　 面　 第一章　空间向量与立体几何 2．二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的__________．如图(2)所示，二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的_________ _______．特别地，平面角是直角的二面角称为____________． 平面角　 图(2) 平面角　 大小　 直二面角　 第一章　空间向量与立体几何 3．二面角的范围：[0，π]． 4．两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 第一章　空间向量与立体几何 知识点二　用空间向量求二面角的大小 设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ． θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 第一章　空间向量与立体几何 探究一　几何法求二面角 [例1]　(1) 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为 　 　 (　　) 互动探究解疑难 第一章　空间向量与立体几何 [答案]　D 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 [答案]　C 第一章　空间向量与立体几何 利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角大小．作二面角的平面角的方法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法． 第一章　空间向量与立体几何 1．AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为 (　　) A．60° B．30° C．45° D．15° 第一章　空间向量与立体几何 解析　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．易得BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，PA＝AC，∴∠PCA＝45°． 答案　C 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 答案　C 第一章　空间向量与立体几何 探究二　利用面积比求二面角 [例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，求平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的余弦值． [解]　如图，易知四边形AEC1F为菱形． 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值． 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 利用向量法求二面角的解题步骤 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 解　(1)证明　因为AG∥DE，AG⊄平面EDC，DE⊂平面EDC，所以AG∥平面EDC．因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥DC， 同理可得AB∥平面EDC．又因为AB∩AG＝A， 所以平面ABFG∥平面DCE．又因为GF⊂平面ABFG，所以GF∥平面EDC． 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 随堂巩固促应用 第一章　空间向量与立体几何 答案　C 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 答案　D 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 答案　D 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与