1.2.3 直线与平面的夹角（课件PPT）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第一章　空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.3　直线与平面的夹角 第一章　空间向量与立体几何 [学习任务] 1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念． 2．会用向量法求线面角． 第一章　空间向量与立体几何 自主学习探新知 知识点一　直线与平面所成的角 1．斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角． 第一章　空间向量与立体几何 2．直线与平面所成的角 定义：如图(1)，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为________，A′B是直线AB在平面α内的________，则____________就是直线AB与平面α所成的角． (1)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°． 当θ＝0°，AB______α或AB______α； 当θ＝90°，AB______α． 图(1) 斜足　 射影　 ∠ABA′　 ∥　 ⊂　 ⊥　 第一章　空间向量与立体几何 (2)性质：最小角． 如图(2)，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是______________________． 斜线和它在平面内的________所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中____________． cos θ＝cos θ1·cos θ2　 图(2) 射影　 最小的角　 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 探究一　利用定义求直线与平面的角 [例1]　(1)如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为 (　　) 互动探究解疑难 第一章　空间向量与立体几何 [答案]　A 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 [解析]　 取BC的中点D，连接AD，B1D， 由AB＝AC，则AD⊥BC，且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BCC1B1所成的角． 第一章　空间向量与立体几何 [答案]　A 第一章　空间向量与立体几何 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法： ①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上； ②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影． 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 答案　B 第一章　空间向量与立体几何 2．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD与平面ABC所成角的正切值为 (　　) 第一章　空间向量与立体几何 答案　A 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 [解析]　如图，设A在平面BPC内的射影为O，连接OP，∵∠APB＝∠APC， ∴点O在∠BPC的角平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角． ∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC，即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°， [答案]　D 第一章　空间向量与立体几何 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1．在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2分别对应图形中的哪个角． 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 用空间向量求直线与平面所成的角的方法与步骤 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 随堂巩固促应用 第一章　空间向量与立体几何 答案　B 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 答案　C 第一章　空间向量与立体几何 3．正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________． 第一章　空间向量与立体几何 4．已知∠AOB在平面α内，∠AOB＝90°，∠POA＝45°，∠POB＝60°，则直线PO和平面α内所成的角为________． 解析　如图所示，过P作PO1⊥平面α于O1，连接O1O， 则∠POO1为直线PO和平面α所成的角， 答案　30° 第一章　空间向量与立体几何 分层练习提素养 点击进入word版 第一章　空间向量与立体几何 知识点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线的方向向量，n为平面