1.2.2 第2课时 面面位置关系、三垂线定理及其逆定理（课件PPT）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第一章　空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.2　空间中的平面与空间向量 第2课时　面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 第一章　空间向量与立体几何 [学习任务] 1．会利用空间向量证明两平面的平行和垂直． 2．掌握三垂线定理及其逆定理并会运用． 第一章　空间向量与立体几何 自主学习探新知 知识点一　两平面平行、垂直的判定 n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则 n1⊥n2⇔__________； n1∥n2⇔__________，或______________． α1⊥α2　 α1∥α2　 α1与α2重合　 第一章　空间向量与立体几何 射影　 斜线　 斜线　 射影　 第一章　空间向量与立体几何 互动探究解疑难 探究一　利用空间向量证明平面与平面平行 [例1]　 在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1为B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D． 第一章　空间向量与立体几何 [证明]　如图所示，以B点为原点建立坐标系，设AB＝a，BC＝2b，BB1＝c， 则A(a，0，0)，C1(0，2b，c)，B1(0，0，c)，A1(a，0，c)， 所以D1(0，b，c)，设D(0，y0，0)(0≤y0≤2b)， 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β ⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 第一章　空间向量与立体几何 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F． 证明　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 探究二　利用空间向量证明平面与平面垂直 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2．求证： (1)AE⊥PD； (2)平面PBD⊥平面PAC． 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 第一章　空间向量与立体几何 2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 第一章　空间向量与立体几何 解　(1)证明　∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． ∴BD⊥AC，BD⊥AA1． ∵AC∩AA1＝A， ∴BD⊥平面ACC1A1． ∵A1E⊂平面ACC1A1， ∴A1E⊥BD． 第一章　空间向量与立体几何 (2)设BD的中点为O，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，设CE＝m(0≤m≤2)， 连接OE，OA1，以D为原点，DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则O(1，1，0)，E(0，2，m)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)， 第一章　空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 探究三　三垂线定理及其逆定理的应用 [例3]　如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD． 第一章　空间向量与立体几何 [证明]　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO． 因为PB＝PC，所以PO⊥BC． 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO． 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD． 由三垂线定理，得PA⊥BD． 第一章　空间向量与立体几何 (1)利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，在证明线线垂直时，应用三垂线定理及其逆定理，可