1.1.2 空间向量的数量积运算（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第3页] 1．(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　) A．与　　　　 B．与 C．与 D．与 解析　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，故D正确．因为AP⊥AD，AD⊥AB，AP∩AB于点A，AP，AB⊂平面ABP，所以AD⊥平面ABP，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，故B，C正确. 答案　BCD 2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 答案　B 3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　＝－，＝＋＋，所以·＝·＝＋·＋·－·－·－·＝×4－1＝0，所以A1E⊥GF. 答案　D 4．如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 解析　因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－，所以||＝. 答案　D 5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则·＝________． 解析　如图，·＝·＝||||cos 〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2. 答案　a2 6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 解析　不妨设棱长为2，则 ＝－，＝＋． cos ＜，＞＝＝＝0，所以 ＜，＞＝90°. 答案　90° 7．(2022·大连高二月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时点B，D间的距离． 解　∵∠ACD＝90°，∴·＝0， 同理可得·＝0. ∵AB与CD成60°角， ∴＜，＞＝60°或＜，＞＝120°. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1·cos ＜，＞. ∴当＜，＞＝60°时，||2＝4， 此时点B，D间的距离为2； 当＜，＞＝120°时，||2＝2， 此时点B，D间的距离为. 8．(多选)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝3()2 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··| 解析　由向量的加法得到＋＋＝，∵A1C2＝3(A1B1)2，∴()2＝3()2，∴A正确；∵－＝ ，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°.又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|··|＝0，因此D不正确． 答案　AB 9．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析　因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0，所以||＝||. 答案　B 10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则||＝(　　) A．　 B． C．　 D． 解析　记＝a，＝b，＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝2，所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.易得＝(－a＋b＋c)，所以||2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2×(－a·b－a·c＋b·c)]＝×[12＋12＋22＋2×(0－1＋1)]＝，所以||＝.故选A． 答案　A 11．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3.若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于________． 解析　由题意得2＝9＝(－)2＝2＋2－2·＝9＋4－2·，所以·＝2.由·＋·＝7，可得·(＋)＋·(＋)＝2＋·＋·＋·＝4＋·(－)＋2＋·＝6＋·(－)＝6＋·＝7，所以·＝2，即4×3