1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第17页] 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6 解析　＝(0，4，－3)，＝(－4，9，－3)， ＝＝9， ||＝＝， BD＝ ＝＝5，故选C． 答案　C 2．已知三棱锥OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D．3 解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，∴＝(－1，2，0)，＝(0，－2，2)，取a＝＝(－1，2，0)，u＝＝.则点A到直线BC的距离为＝＝. 答案　B 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4).设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥D1B1，n⊥D1A， ∴即 令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1). 故点A1到平面AB1D1的距离为d＝＝. 答案　C 4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a 解析　由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，所以CA1＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝＝＝a. 答案　D 5．在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________． 解析　如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，∴＝(2，2，－2)，＝(2，0，0).设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即 取y＝1，则n＝(0，1，1).又＝(1，－2，0)，∴点D到平面PBC的距离为＝. 答案　 6．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)， ＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 答案　 7．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离． 解　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E， F， 所以＝， ＝. 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，且n·＝0， 所以 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)， 所以点D到平面PEF的距离为 d＝＝＝， 因此，点D到平面PEF的距离为. 8．已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝. 又＝(1，0，0)， ∴在上的投影为＝， ∴点P到AB的距离为＝. 答案　A 9．已知点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，分别以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1