1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第15页] 1．两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　) A．－3　 B．6　 C．－6　 D．－12 解析　α⊥β ⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6. 答案　B 2．设直线l1的一个方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1　　 B．－2 C．－3　 D．3 解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋1×2＋(－2)m＝0，∴m＝3. 答案　D 3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) A．，－，4 B．，－，4 C．，－2，4 D．4，，－15 解析　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，则解得 答案　B 4．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中心，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝(　　) A． B．1 C．2 D．3 解析　建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a). 设F(0，y，0)，则＝(－1，y，0)， ＝.因为BF⊥PE， 即·＝(－1)×＋y＝0，解得y＝， 即F是AD的中点，故＝1.故选B． 答案　B 5．已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________． 解析　∵l⊥α，∴u∥n，∴＝＝，∴a＝5，b＝－1. 答案　5，－1 6．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝________时，ON⊥AM. 解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O，N. 设M(0，1，a)(0≤a≤1)， 则·＝(0，1，a)·＝－＋a＝0， ∴a＝.∴当＝时，ON与AM垂直． 答案　 7．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 证明　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(，，0)，B(0，，0)， D(，0，0)，F(，，1)， M. 所以＝，＝(0，，1)，＝(，－，0). 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以得 取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1，1，－). 因为＝，所以n＝－ ， 即n与共线．所以AM⊥平面BDF. 8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析　以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A1(1，0，1)，D(0，0，0)， A(1，0，0)，C(0，1，0)， E，F， B(1，1，0)，D1(0，0，1)， A1D＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)， ＝，BD1＝(－1，－1，1)， 则＝－BD1，A1D·＝·＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC. 答案　B 9．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中(　　) A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE 解析　将正方体的平面展开图复原为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1. 则A(1，0，0)，B(1，1，0)， C(0，1，0)，D(0，0，0)，E(1，0，1)， F(1，1，1)，G(0，1，1)，H(0，0，1). ＝(0，0，1)，＝(0，－1，0)， 所以≠λ，故AE不平行CD，A错误； ＝(0，－1，1)，＝(0，－1，1)， 所以＝，故CH∥BE，B正确； ＝(0，1，1)，＝(－1，－1，1)， 所以·＝0，故DG⊥BH，C正确； ＝(－1，0，1)，＝(1，0，1)， 所以·＝0，故BG⊥DE，D正确． 答案　BCD 10．如图所示，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①·≠0；②AB⊥DC；③BD⊥AC；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．错误的结论是(　　) A．① B